一次探究性教学与高考试题的“碰撞”

摘 要：随着新课程改革的深入和发展，教师越来越关注自己的教学模式，其中探究性教学是最常用和有效的教学模式之一． 探究性课堂教学能充分发挥学生的主观能动性，在充分肯定学生是教学主体的前提下，积极引导学生提出问题、解决问题．高考试题是千变万化的，在考查学生知识的同时，更在考查学生的能力，而探究性教学以一题多解、一题多变，在减轻学生负担、提高课堂效率上不失为一种有效的教学形式．

关键词：教学；探究教学；有效教学

含参不等式恒成立问题一直都是每年高考的热点问题，长盛不衰． 由于这类问题常常在知识网络交汇点处设置，往往能有效检测学生的数学能力． 因此，我们在平时教学中可以采用探究教学，让学生自己建构知识，主动探究解法，从而掌握这一类问题的解法． 在高三这一问题的复习课中，笔者在教学中正是采用了探究性教学，从而使得我班学生在2011年高考中获益匪浅． 下面是笔者在教学中的一个案例，供参考．

例：x2－ax+1≥0，在x∈［1，2］上恒成立，求实数a的取值范围．

这是一个比较典型的含参不等式恒成立问题．经过短暂思考后，就有学生回答了．

学生1：只要Δ≤0就可以了．

但马上他又意识到好像有问题．于是又进行了补充．

学生1：如果去掉条件x∈［1，2］，那就对了． 加了条件后，感觉好像很难做，再想想．

笔者马上肯定了他，同时又鼓励其他学生思考这个问题的解法． 很快，学生们就发表了自己的解法，主要解法如下：

解法1：构造函数

令f（x）=x2－ax+1，x∈［1，2］，对称轴是x=，只要函数f（x）的最小值大于0就可以了．

（1）当

（2）当1≤≤2，即2≤a≤4时，

f（x）min=f=1－≥0，所以a=2.

（3）当>2，即a>4时，f（x）min=f（2）=5－2a>0，所以a无解.

综上所述，a的取值范围是（－∞，2］．

解法2：分离参数

原不等式变形为ax≤x2+1，因为x∈［1，2］，所以a≤x+恒成立． 令g（x）=x+，x∈［1，2］，只要a≤g（x）min． 因为g′（x）=1－≥0，所以g（x）在［1，2］上单调递增，所以g（x）min=g（1）=2，所以a≤2．

解法3：数形结合

令y1=ax，y2=x2+1，x∈［1，2］，画出两个函数的图象，由a的几何意义，马上就能得出a的取值范围是（－∞，2］

教师：下面请同学们一起归纳一下刚才的三种解法，并对它们的优缺点做一下说明，或者说你更喜欢哪种解法？

学生2：我喜欢解法3，过程很少，思路简单，容易做．

学生3：解法1思路简单，但构造的函数是含参数的，在求最值中往往要进行分类讨论，比较麻烦． 解法3看起来比较简单，但前提是这两个函数的图象要比较好画，而有时却很难画，所以要具体问题具体分析． 而解法2看起来比较好，所构造的函数不含参数，在求最值时比较简单，所以我比较喜欢解法2.

笔者统计了一下，几乎所有的同学都倾向于解法2，而笔者自己也是比较喜欢解法2的，让学生感受我们师生是“一条心”的． 既然我们的想法统一了，我们就更有必要对解法2进行一次探究，看看它在使用时是否有什么限制条件，解法过程上有什么变化．

教师：请同学们在保证恒成立问题下，变换题目中的条件，再次用分离参数法做一下．

设计意图：在教学中教师要注重一题多解，但更要让学生学会解法的选择．在确定解法后，还要进一步让学生去探究哪些问题能用这个解法．

探究一：x2－ax+1≥0，在x∈［－1，1］上恒成立，求a的取值范围．

分析：原不等式变形为ax≤x2+1，要把参数a分离出来，必须对x进行讨论，要分成三种情况．

（1）x∈［－1，0），a≥x+恒成立，令g（x）=x+，可知g（x）max=g（－1）=－2，所以a≥－2．

（2）x=0，a∈R．

（3）x∈（0，1］，a≤x+，可知此时g（x）max=g（1）=2，所以a≤2．

综上所述，可知a的取值范围是［－2，2］．

此题变化了x的取值范围，从而导致变形时必须对x进行讨论，学生在做时，对x=0的讨论一开始有所忽略，后经讨论后再补上，还有就是最后的结论，对a的取值范围应该是取上面三个取值范围的交集还是并集做了探究．

探究二：（a2－1）x2+ax－1≥0在x∈［1，2］时恒成立，求a的取值范围．

公式变形为a2x2+ax≤x2+1后，不等式左边是关于a的一元二次项，很难进行分离，在探究过程中遇到了困难． 后来经过大家努力，终于有一些学生提出了想法，用配方法把它给分离出来．

解法分析：对上述不等式的左边进行配方，得到ax+2≤x2+，此时不等式右边是大于0的，所以－≤ax+≤，即a≤－，a≥－－

在x∈［1，2］上恒成立，此时问题已经转化为我们熟悉的问题，只要再构造两个函数，分别求出最值就可以了．笔者把求这两个函数的最值作为了学生的作业． （具体解法略）．

上述题型可以归纳为若出现的是参数的一元二次项，则可以先用配方法，然后再进行参数分离． 一开始大家都觉得这个题目挺难，会放弃用分离参数法，但经过我们的探究，仍然是可以用的，最后的结果取决于所构造的函数，它们的最值是否好求．很碰巧，2011年的高考就考了一个含参不等式恒成立问题．

下面来看2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）中的最后一道压轴题．

例 设函数f（x）=（x－a）2lnx，a∈R.

（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；

（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立，注：e为自然对数的底数．

我们来看第2问，很显然，每个同学都能看到这是一个恒成立问题，但当初却有很多考生做不出来． 不过笔者所在班的学生做得还可以，他们基本上都是采用分离参数法，与参考答案的解法不一样，都还说这个题目和课堂上讲的差不多，笔者想他们所说的那节课大概就是上面所讲的这个案例了． 下面我们来比较一下这两种解法：

解法1：（参考答案）

（2）①当0

②当10. 又h（x）在（0，+∞）内单调递增. 所以函数h（x）在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0，则1

f（x0）=（x0－a）2lnx0≤4e2，（1）f（3e）=（3e－a）2ln（3e）≤4e2，（2）成立．

由h（x0）=2lnx0+1－=0，知

a=2x0lnx0+x0，（3）

将（3）代入（1）得4xln3x0≤4e2.

又x0>1，注意到函数x3ln3x在［1，+∞）内单调递增，故1

再由（3）以及函数2xlnx+x在（1，+∞）内单调递增，可得1

由（2）解得，3e－≤a≤3e+.

解法2：（学生做的）

①当0

②当10，所以（x－a）2≤（形式等同于探究二），所以x－≤a≤x+． 令g（x）=x+，g′（x）=1－=0，可得x=e，所以当x∈（1，e），g′（x）0，所以g（x）在（1，e）上单调递减，在（e，3e］上单调递增，所以g（x）min=g（e）=3e，所以a≤3e．

同理，令h（x）=x－，h′（x）=1+>0恒成立，所以h（x）在（1，3e）上单调递增，所以h（x）max=h（3e）=3e－，所以a≥3e－．

综上所述，可得3e－≤a≤3e+

比较两种解法，显然解法2更容易为考生所接受．

高考试题是千变万化的，教师很难猜到． 这就要求我们在平时教学中不是带着学生去做很多题目，而是要注重上课效率，提高学生的解题和应变能力，而探究性教学正是这样一个极佳的教学方法． 所谓“探究性教学”，就是教师为了指导和培养学生探究性学习而模拟科学探究所设计和组织的一种课堂教学． 它包括教与学两个方面，一方面教师给学生提供必要的指导与帮助，使学生明确探究的目的、方向和方法；另一方面学生在教师的指导下，探索发现问题，并通过观察、分析、类比、归纳、猜想、证明等探究性活动，积极主动地发现问题、探究问题，获得知识、技能、情感与态度的发展过程． 实践证明探究性教学既能提高学生的高考成绩，也能提高学生的数学素养和个人综合素质，笔者仍将探索如何更好地开展探究性教学．