计算内部收益率的一个新方法

摘要：本文提出一个计算投资项目内部收益率的新迭代格式。此格式形式简单，计算方便，对初值无限制。用理论证明和实例计算讨论了迭代的收敛性。

关键词：内部收益率；净现值函数；净现值分离函数；迭代格式

中图分类号：F062 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）03-0-02

一、引言

内部收益率的精确计算涉及一元高次方程正实根的迭代逼近，不少作者使用了许多独创方法[1-8]。这些方法有的计算步骤繁琐，有的公式推导复杂。且大多数方法对初值的选择有严格限制条件，例如初值的净现值函数值必须一正一负或者必须大于零，等等。

本文提出的迭代公式不但计算和推导十分简便，对初值也无严格要求。

二、IRR方程

为使IRR方程具有单正实根，以下讨论仅针对常规投资项目，特别是初始一次性投资项目。设IRR方程为

（1）

式中：Ft为笫t年净现金流量，n为项目寿命期，x = 1 + i，其中i为折现率变量。

F0 < 0，Ft （t = 1，2，，…，n） > 0，-F0 < 。

令 （2）

（3）

显然，f（x）就是净现值函数。我们称g（x）为净现值分离函数。这样，IRR方程变形为

F0 + g （x） = 0 （4）

或 g （x） = - F0 （>0） （5）

三、迭代格式

在以x为横轴，g（x） 为纵轴，（1，0 ）点为原点的平面坐标系中，画出g（x） 函数曲线. 对常规投资方案，此曲线具有单减上凹形状（图1）。曲线与纵轴相交于g（1） 点，与横轴不相交（或交于+∞点）。

图1 净现值分离函数g （x） 曲线

在曲线上取纵坐标为- F0的一点，设为P，其横坐标为xp，由于g（x） 函数单调连续， 此为唯一点。P点的两条坐标线与两个坐标轴构成一个矩形，其面积Ap = - F0 （xp - 1）。

在P点两侧的曲线上各取一点Q和R。Q点的横坐标为x0，纵坐标为g （x0），矩形面积AQ = g （x0） （x0-1）。R点的横坐标为x0’，纵坐标为g （x0’），矩形面积AR = g （x0’） （x0’- 1）。

当Q和R分别趋近P点时，有AQ≈AP和AR≈AP，重合时完全相等。我们有

把x0 或x0’作为初值，我们得到一个+分简单的迭代公式：

，K=0，1，2，……. （6）

四、收敛性

令迭代函数为

由图1知

因此

Xp 是迭代函数的不动点。由g （x） 的连续性和单减性，知xp 是迭代函数的唯一不动点。

下面根据不动点迭代的两个收敛条件[9]证明在包含xp的任意区间 （1，b） 上，迭代函数必收敛到唯一不动点xp。

两个收敛条件是：（1）映内性：对任意x [1，b ]，有1≤≤b；（2）压缩性：对任意x1，x2 （1，b） ，存在正数0 < L < 1，使得成立。

证明：

（1） 映内性

①当1≤x≤b，因g （x） > 0，--F0 > 0，x -1 > 0 ，故

②当xp≤x≤b ，由g （x） 连续，单减知：g （x）≤--F0，故

③当1≤x≤xp ， 由于g （x）（x-1） ～ --F0（xp -1） ，故

综合①②③得：当x [1，b ]，有

（2）压缩性

当x1，x2 （1 ，b） ，x3 （xp，b） ，且 x1 < x2 < x3 时，由g （x）的连续和单减知：

g （x1）>g（x2）>g （x3）以及g （x3）< --F0，故

不等式成立是因为“g（x3）取代g（x1）减小的程度”大于“g（x3）取代g（x2）减小的程度”，从而使分子增大。

令L=，因此0 < L < 1，于是得

注：当x1>x2，颠倒绝对值符号内减式中两项的顺序，不等式仍成立。

五、计算示例

例1：某项目现金流量图如下（单位：万元）：

试计算该项目的内部收益率。

解：--F0 = 100 ，g（x） =，以x0 = 1.1开始迭代，运用公式（6），依次得： g（1.1 ） = 123.18 x1 = 1.1232

g （ 1.1232 ） = 104.58 x2 = 1.1288

g （1.1288 ） = 100.63 x3 = 1.1296

g （ 1.1296） =100.07 x4 = 1.1297

g （ 1.1297） = 100.01 x5 = 1.1297

精确到小数四位的IRR = 1.1297 - 1 = 12.97 %。

由此题可见，对常规多次投资项目使用公式（6）时，除初始投资F0 外，其余投资应纳入g（x）进行计算。

例2：某工业项目现金流量如下表（单位：万元）：

求该项目的IRR。

解：--F0 =125，g（x） =

（1）取较小初值x0 = 1.05 开始迭代，得

g （ 1.05 ） = 296.83 x1 = 1.1187

g（1.1187） = 200.66 x2 =1.1905

g（1.1905） =141.06 x3 = 1.2150

g（1.2150） = 126.56 x4 =1.2177

g（1.2177） = 125.09 x5 = 1.2179

g（1.2179） = 124.99 x6 = 1.2179

（2）取适中初值x0 = 1.25 迭代仅三步即获得精确至小数四位的x值

g （ 1.25 ） =109.40 x1 =1.2188

g（1.2188）=124.51 x2 = 1.2179

g（1.2179）=124.99 x3 = 1.2179

（3）即使从很大的初值x0 = 2.00开始，所需步骤也不多

g （ 2.00 ） =20.93 x1 = 1.1674

g（1.1674）=157.08 x2 = 1.2104

g（1.2104）=129.11 x3 = 1.2173

g（1.2173）=125.31 x4 =1.2178

g（1.2178）=125.04 x5 = 1.2179

g（1.2179）=124.99 x6 = 1.2179

精确到小数四位的IRR = 1.2179 - 1 = 21.79 % 。

六、结语

从两个计算示例可以看到，本方法对IRR精确值的求算十分方便。首先，迭代公式很简单，g （xk）的计算虽麻烦一些，但利用普通的计算器就能对付。更重要的一点是， 本法初值选择十分宽松，而且，很容易检验初值x0或其他迭代值xk 是否靠近不动点xp，这只要看看算出g（x0）或g（xk）是否接近-F0就行了。

参考文献：

[1]唐凯，等.黄金分割法在求解内部收益率中的应用[J].技术经济，2002（07）：57-58.

[2]傅毓维，等.计算内部收益率的斐波那契法[J].技术经济，2002（12）：58-60.

[3]陈尚桥.用二分法求解内部收益率[J].广东水利水电，2003（03）：29-30.

[4]刘秀娟.求解建设项目内部收益率的切线法[J].辽宁工学院学报，2003（03）：66-67.

[5]王羽，等.计算内部收益率（IRR） 的改进方法[J].重庆交通学院学报，2005（04）：105-106.

[6]张志强.内含报酬率的一种迭代算法[J].技术经济与管理研究，2007（03）：49-50.

[7]杨旭岩.三点二次插值法求常规投资项目的内部收益率[J].科技和产业，2009（11）：124-125.

[8]陆宁，等.正则投资项目内部收益率的快速确定[J].技术与创新管理，2010（06）：704-706.

[9]张晓丹，主编.应用计算方法教程[M].机械工业出版社，2008（05）：43-49.