谈几何中点问题解法

涉及中点问题的几何问题，一般解法常用下列定理或方法：(1)平行线等分线段定理；(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(3)三角形中位线定理；(4)等腰三角形三线合一的性质；(5)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；(6)平行四边形的性质与判定.利用以上定理或作辅助线法，在解题时，就会得心应手.当然，有些题目的中点常常隐含在题目中，如AB是O的直径，就隐含着O是AB的中点，等等.

1 利用平行线等分线段定理

例1 已知：如图1，AB是O的直径，CD是弦，AECD于E，BFCD于F.

求证:EC=FD.

图1

略证 作OGCD于G，则AE∥OG∥BF，CG=GD,

又因为AO=OB，

所以EG=FG,所以EC=FD.

2 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

图2例2 已知：如图2，BE、CF是ABC的两条高，M、N分别为BC、EF的中点.

求证：MNEF.

略证 连结ME、MF，则

MF=12BC，ME=12BC.

所以MF=ME.

又因为FN=NE，所以MNEF.

例3 如图3，以RtABC的一条直角边AC为直径作O，交斜边BC于D，E是AB的中点，连结DE.

求证：ED是O的切线.

图3

略证 连结OD、OE、AD，

因为AC是O的直径，

所以∠BDA=∠ADC=90°.

又E是AB的中点，

所以ED=EA.

又因为OD=OA，OE=OE.

所以EDO≌EAO.

所以∠EDO=∠EAO=90°，

所以ED是O的切线.

3 利用三角形中位线定理

图4

例4 已知：如图4，在RtABC中，∠A=90°，以AC为直径的O交BC于D，E是AB的中点.

求证：EAAO=ADDC.

略证 连结OE. 因为AE=EB,CO=OA，

所以EO∥BC. 所以∠EOA=∠C.

又∠EAO=∠ADC=90°，

EAO≌ADC，

所以EAAO=ADDC.

图5

例5 已知：如图5，四边形ABCD中，AB=DC. M、N分别为BC、AD的中点，延长BA、CD交MN的延长线于E、F.

求证：∠1=∠2.

所以∠3=∠2, ∠4=∠1.

又因为CD=AB, 所以OM=ON.

所以∠4=∠3，

所以∠1=∠2.

4 利用等腰三角形“三线合一”的性质

图6

例6 已知：如图6，ABC中，AC=AB，以AC为直径的O交BC的中点D. E为O上一点.

求证: ∠DAB=∠E.

略证 因为AB=AC,CD=DB,所以∠DAB=∠DAC,而∠DAC=∠E,

所以∠DAB=∠E.

5 倍长中线,构造全等三角形(或平行四边形)

图7

例7 已知：如图7，ABC中，AB=AC，CM是边AB上的中线，BD=AB.

求证:CD=2CM.

略证 延长CM到N,使MN=CM.连结BN,易得NBM≌CAM.

所以BN=AC=AB=BD，∠NBA=∠A.由题设易证BCN≌BCD.从而原命题获证.

6 利用平行四边形的性质与判定

图8

例8 如图8，ABCD中，M、N分别是OA、OC的中点.

证明：略.

例9 已知：如图9，四边形ABCD为正方形，∠1=∠2，E为DC的中点.

求证:AF=CD+CF.

图9

略证 延长AE交BC的延长线于G,易证CEG≌DEA.

从而CG=AD=CD, ∠1=∠G.

而∠1=∠2，所以∠2=∠G.

AF=FG=FC+CG=CD+CF.

(本题交换题设∠1=∠2和结论AF=CD+CF.也可以用本方法).

总之,充分利用与中点有关的定理来作辅助线,是解决几何中点问题的解法的有效途径,也是培养学生分析问题和解决问题能力的重要方法.