初中几何题的两种特殊解法

在中学数学中有许多几何问题，若不拘于陈法，敢于从变换思维的角度，把代数中的定理、面积的计算运用到几何问题中，既避免了繁杂的计算，也提高了解题的速度，会使解题更容易、更简捷，让你觉得妙趣横生，笔者在多年教研工作中列举两例予以说明。

一、运用代数法解几何问题

例如：圆O内切于RtABC的三边AB、BC、CA于D、E、F，AB为叙边。求证：AD•DB=SABC

分析：该题是一个纯几何问题，若用平面几何的方法求解则显得比较麻烦。根据本题的问题，运用方程求解则比较容易其简捷。

证明：如图1，设BC=a，CA=bAB=C，

AD=AF=xBD=BE=y，连接OE、OF，则得

二元一次方程组：

AD•DB= •

=

= （c2-b2-a2-2ab）

= ab

=SABC

例2在平面凸五边形ABCDE所在平面上，作A点关于B点的对称点A，B点关于C点的对称点B1……E点关于A点的对称点E1，然后擦去原

来的五边形ABCDE。

求证：可用尺规作图由A1B1C1D1E1回复的到ABCDE。

证明：以a、b、c、d、e，a，b1、c1、d1、e1，分别代表A、B、C、D、E，a、b1、c1、d1、e1，所对应的复数，根据点的作法有：

a1=2b-a①

b1=2c-b②

c1=2b-c③

d1=2e-c④

e1=2a-c⑤

由①+②×2+③×22+④×23+⑤×24得

a= （a1+2b1+4c1+8d1+16e1）

可用尺规作出a，同理b、c、d、e都可用尺规作出。

例3：过抛物线y2=2px的焦点F，作与x轴的正向夹角θ（0 ＜θ＜π）的直线交抛物线A、B两点。求证：

本题将用书达定理给予证明，如图2

证明：

设直线AB的方程为y=tg （x- ）

代入抛物线方程得：tg x2-(tg2 +2p)x+ =0

tg2 ≠0，由韦达定理可知

x1+x2+p=

= =

当k不存在时，即 =90°=1，此时 （即抛物线的通径长）。

二、用面积法解几何题

例1如图3在ABC中，BM、BD分别为中线和内角平分线，而BN是中线关于解平分线的对称线，M、D和N都在BC上，求证：（AN/NC）=（AB2/BC2）

分析：此题如按常规方法解，则比较繁琐，或无法求证，如用面积法则较为简便。

由∠ABN=∠MBC，∠NBC=∠ABM及SABM=SMBC，作如下的巧妙代换。

例2如图4，在ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，E是AD上的一点，且∠BED=2∠CED=∠A。

求证：BD=2CD

分析：此题是一道较为难做的联赛题，如果采用面积之比来解则是显得简单、灵活。

由∠BED=∠A

α+∠BAE=∠A==α=β

∠BED=β+∠BAD

由α=β可造全等三角形，在BE上取F使BF=AF，则有ABF≌CAE==

利用面积之比，便会得如下简捷的证法。

BD=2DC

在中学几何问题教学中，如能采用灵活多样的解题方法，不但可以使繁琐的问题简单化，还能训练学生的思维能力，培养学生的创新思维。（组稿：邓世维）