向量解法与几何解法相得益彰

摘 要： 向量与几何是高中数学的重要内容。向量以“数形结合”的特点成为解决问题强有力的工具；反过来，对已知的几何图形进行分析，根据几何特征，也可将向量关系进行转化，使问题得到巧妙解决。

关键词： 向量 几何 数形结合 应用

向量与几何是高中数学的重要内容，向量本身融“数形”为一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，在平面、立体、解析几何中都有着拓宽解题思路与方法的重要作用。不少中学几何问题往往可用向量的适当形式表示，转化并加以解决。通常学生在处理向量问题时多选择数而忽略形。为了提高学生的综合解题能力，帮助学生提供借助几何图形处理向量问题，逐步培养学生形成数形结合的思想。我通过列举几个例题，来说明这类题目的解法。

一、利用几何性质解决平面向量

例1：如图1，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线与CD交于点F，若=，=，则=?摇?摇?摇?摇?摇。

解：应用平面几何知识可知：E为OD中点时，有ED=BE，DC//AB，则=，=+=（+）+（+）=（+）+（-）=+。

注：本题应用了平行线段成比列定理寻找线段关系，从而找到向量的线性关系，解决了问题。

例2：如图2，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，M为AB的中点，P在DC上运动，则・的取值范围?摇?摇?摇?摇?摇。

解：・=DM・AP・cosθ，即为的模与在上的射影的乘积。||=1，点A在上的射影是确定，动点P在上的射影位置变化引起在上的射影的变化，故动点P在点D处取最小值，在点C处取最大值。

注：数量积・的本质属性即为两个共线向量的数量积，亦可为带有符号的两个向量的模之积。

例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈［0，+∞），则点P的轨迹一定过ABC的（ ?摇?摇）。

A.外心?摇?摇B.内心?摇?摇C.重心?摇?摇D.垂心

解：因为、分别是、同向的单位向量，所以由向量加法的平行四边形法则知+是与∠BAC的角平分线（射线）同向的一个向量。又由-==λ（+），知点P的轨迹是∠BAC的角平分线，从而一定过ABC的内心。

二、利用向量解决几何问题

1.利用平面向量解决三点共线问题

例4：已知A（a，2），B（3，7），C（-2，-9a）三点在同一直线上，求实数的值。

解：=（3-a，5），=（-2-a，-9a-2）。

由//得（3-a）（-9-2a）=5（-2-a），即9a-20a+4=0，

解得a=2或a=。

2.利用平面向量解决求直线方程问题

例5：平面直角坐标系中O为坐标原点。已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足=α+β，其中a，β∈R，且α+β=l，则点C的轨迹方程为x+2y-5=0。

注：利用向量的坐标表示。

例6：在三角形ABC中，A（4，1），B（7，5），C（4，7），求角A的内角平分线所在的直线方程。

解：=（3，4），其单位向量=（，），

=（-8，6），其单位向量=（-，），

所以角A的平分线的方向向量为+=（-，）。

A（4，1）在角A的平分线上，

角A的平分线方程为（x-4）+（y-1）=0，即7x+y-29=0。

3.利用向量解决立体几何中探索性问题

例7：正四棱锥S-ABCD中，所有棱长都为2，P为SA的中点，如果点Q在棱SC上，那么直线BQ与PD能否垂直？请说明理由。

解：如图3，连接AC，BD交于点O，以射线OA，OB，OS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（，0，0），B（0，，0），C（-，0，0），P（，0，）。

设CQ=t，由定比分点公式有（t-，0，t），

于是=（，，），=（t-，，t），

要使，只需・=0，而t∈［0，2］，

故・=t-3≠0，所以BQ与PD不可能垂直。

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