解析几何的向量解法

【摘要】解析几何中的题目由于大量应用性质及图形,使得部分学生感觉题目难做,并由此产生畏难心理,见解析题就发憷。进而影响了他们的成绩,影响了学习兴趣。如果将向量引入其中,就能回避好多难处理的问题。平面向量由于其具有几何形式和代数形式的“双重身份”,在研究其他许多问题时都有很广泛的应用.它是联系多项知识的媒介,成为中学数学知识的一个交汇点。

【关键词】解析几何;向量的概念

The vector solution of the analytic geometry method

Ma Hong-yin

【Abstract】The topic in the analytic geometry because of a great deal of application property and sketch, make parts of student felling the topic be difficult to do, and from here creation awe by difficulty mental state, see resolution hair Mao.Then influence their result, influence study interest.If lead the vector into among them, get around for the ability a lot of and difficult processing of problem.The flat surface vector has several form and algebra form because of it of"dual identity", while study many other problem all have very extensive of application.It is contact several medium of knowledge, 1 which become mathematics knowledge in the high school hand over to remit a point.

【Key words】Analytic geometry;The concept of vector

解析几何中的题目由于大量应用性质及图形,使得部分学生感觉题目难做,并由此产生畏难心理,见解析题就发憷。进而影响了他们的成绩,影响了学习兴趣。如果将向量引入其中,就能回避好多难处理的问题。平面向量由于其具有几何形式和代数形式的“双重身份”,在研究其他许多问题时都有很广泛的应用.它是联系多项知识的媒介,成为中学数学知识的一个交汇点,数学高考重视能力立意,在知识网络的交汇点上设计试题,因此,解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应,本文结合几个例题,说明平面向量在平面解析几何中的一些简单应用.由于建立直角坐标系,给出了向量的坐标表示式,由此导出了向量的加法、减法及实数与向量积的坐标运算,这就为用“数”的运算处理“形”的问题架起了桥梁。因此运用向量方法解决平面几何问题,能够将问题中的隐蔽条件明朗化,复杂条件简单化,化难为易,最终能解决问题。从而使学生体验到成功的乐趣,建立学好数学的信心,又学到思考的方法,从而逐步提高推理的能力。

基础知识梳理

1. 向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法;

2. 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算;

3. 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平移公式;

4. 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用;

5. 曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程);

6. 直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题)确定参数的取值范围;

7. 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。

例题讲解

1. 求轨迹问题

例1. O为原点,点A(1,1),B(1,-1).若存在 ,使点C满足 ,其中 =1.求点C的轨迹方程______________

解:设C(x,y) 则(x,y) =(1,1)+ (1,-1)

=( ,)+(, )

=(+ ,- )

x=+ ,y= -

= , =

=1,

x2-y2=4

说明:在引入向量的坐标表示后,可以使向量运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。

练习1.平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知 ,若点 满足 ,其中 ,且 ,则点 的轨迹方程为( D)

A.B.

C. D.

2.过点 ,作直线 交双曲线 于A、B不同两点,已知 。

(1)求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

(2)是否存在这样的直线 ,使 ?若存在,求出 的方程;若不存在,说明理由。

解:(1)设 的方程为 ,代入

得

当 时,设

则

设 ,由 ,

再将 代入 得 (*)

时,满足(*)式。

2.关于数量积的运算

例2.设坐标原点是 O,抛物线 y=x2与过点(0, )的直线交于A,B两点.

则 =( )

解:设A(x1,x12),B(x2,x22)

则 = (x1,x12)(x2,x22)=x1x2+( x1x2)2

设直线AB的方程为:y- =kx

则由y=x2

y- =kx解得x2-kx- =0

x1x2=- =-

说明:向量数量积的坐标表示,构建起向量与解析几何的密切关系,使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是:利用向量数量积的坐标表示,沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。

练习(2007年新课程卷)设坐标原点为 ,抛物线 与过焦点的直线交于 两点,则 等于( B )

A. B. C.D.

3.方向向量的应用

例3.双曲线的中心在坐标原点O,两条渐近线的方向向量分别为 =(2,1), =(-2,1).P是双曲线上的一个动点,已知 =(5,0),的最小值为 ,求双曲线的方程.

解:双曲线的两条渐近线的方向向量是 =(2,1),=(-2,1)

两条渐近线分别为:y= x , y=- x

设双曲线的方程为:x -4y =λ,P(x,y)

=(x-5,y)

=

=

=

当x=4时, 有最小值是 。

所以,得

双曲线的方程是: ,即:

说明:由于向量可以用一条有向线段来表示,有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率,故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是:根据直线的方向向量得出直线方程,再转化为解析几何问题解决。

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练习

(1)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足

=+λ( + ),λ,则点P的轨迹一定通过ABC 的(B)

(A)外心(B)内心(C)重心 (D)垂心

(2)已知平面上直线l的方向向量 =(- , ),点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为O,和A,,则 =λ ,其中λ=( D )

(A) (B)- ( C)2(D)-2

4.向量夹角的应用

例4已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且y1y2

解:∠AOB为锐角,

>0,即x1x2+y1y2>0(*)

设M(x0,0),直线AB的斜率为k(k≠0),

则AB可以写成:y=k(x-x0)与y2=2px联立

得:k2x2-(2k2x0+2p)x+kx02=0

于是:x1x2=x02

y12y22=(2px1)(2px2)=4p2x02

而y1y2

代入(*)式得:

x02-2px0>0

x0>0,x0>2p

易知:若ABx轴亦成立。

说明:求解这类问题的关键是:先把向量用坐标表示,再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解;

练习

椭圆 的焦点为F1,F2 ,点P为该椭圆上的动点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围。( )

5.共线向量的应用

例5、已知椭圆 的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 ,向量 与 是共线向量。

(1)求椭圆的离心率e;

(2)设Q是椭圆上任意一点,、 分别是左、右焦点,求∠的取值范围;

解:(1) , 。

是共线向量, ,b=c,故 。

(2)设

当且仅当 时,cosθ=0,θ 。

说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题。

来稿日期:2010-07-12

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