解析几何中定值问题的解法

最值、定值问题，之所以在高考解几综合题中“热度不减”，原因在于解析几何的主体内容通过最值、定值的提问方式，能将其它章节重要数学知识内容结合起来，能够考查到学生函数的思想、方程的思想以及分类讨论的思想方法，能将学生代数运算能力、推理论证能力和抽象概括能力的考查，天然浑成地贯穿于一道试题之中，体现试题的综合性，这种试题选拔的功能性强，符合高考命题的指导思想，“有助于高校科学公正的选拔人才”.

解析几何中的定值问题 , 一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角形、动轨迹等) 中 , 寻求某一个不变量 ―――定值, 它是高考中一种常见的题型.由于这种问题往往涉及的知识点多、覆盖面广、综合性较强, 因此不少学生常常因缺乏解题策略 , 而导致解答过程繁难、运算量大, 甚至半途而废.

例1 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：x＝2.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂

线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．

解法一：(1) 因为椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：x＝2，

不妨设椭圆C的方程为x2a2＋y2＝1.a2c＝1+c2c＝2，即c＝1.所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.

(2) F(1,0)，右准线为l：x＝2，设N(x0，y0)，则直线FN的斜率为kFN＝y0x0-1，直线ON的斜率为kON＝y0x0.因为FNOM，所以直线OM的斜率为kOM＝－x0-1y0，

所以直线OM的方程为y＝－x0-1y0x，点M的坐标为M2,-2(x0-1)y0.

所以直线MN的斜率为kMN＝y0+2(x0-1)y0x0-2，因此MNON，所以kMN・kON＝－1

所以y0+2(x0-1)y0x0-2・y0x0＝－1，y20+2(x0－1)＋x0(x0－2)＝0，即x20＋y20＝2.所以ON＝2为定值．

解法二:设P(x0,y0)， 由题意有：(x0-1)2+y0-t22=1+t24

2x0+ty0-2=0，

即：x20+y20-2x0-ty0=0

2x0+ty0-2=0，消去t得：x20+y20=2 所以ON＝2，为定值．

例2 如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点C(2,1)，点C关于原点O的对称点为D.

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．

解:(1) 2a＝2×2b，a＝2b.椭圆E过点C(2,1)，224b2+1b2＝1，b＝2，a＝22，

椭圆E的方程为x28＋y22＝1.

(2) 依题意得D点的坐标为(－2，－1)，且D点在椭圆E上直线CP和DP的斜率kCP和kDP均存在，设P(x，y)，则kCP＝y-1x-2，kDP＝y+1x+2，kCP・kDP＝y-1x-2・y+1x+2＝y2-1x2-4.

又点P在椭圆E上，x28＋y22=1，x2＝8－4y2，kCP・kDP＝y2-1x2-4=-14，

直线CP和DP的斜率之积为定值－14.

题型攻略

解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的点、直线方程、数量积、比例关系等，这些不受变化的量就是要求的定值.化解这类问题的关键就是引进参数表示点、直线方程、数量积、比例关系等，然后根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.