解析几何中最值问题的常用解法

摘要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，在高考中亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。

关键词：数学；最值；解法

最大值和最小值的问题是生产、科学研究和日常生活中经常遇到的一类特殊的数学问题，所谓“多、快、好、省”的问题就属于这一类。

求解最大值或最小值的问题， 虽然在中学课本中没单独列出章节专门讲授，可是它却与中学数学中众多的知识和方法紧密相关。譬如：二次函数、不等式、函数的有界性等有关知识和方法的利用。所以，这类最大值和最小值问题就在高考数学的考查中占有了比较重要的地位。再有，最大值和最小值问题的另一个显著特点是它广泛的应用性和实用性。很多实际问题的解决可以归结为一个数学上的最大值或最小值问题的求解。所以这类实际问题的求解，将有利于学生把实际问题抽象成数学问题的训练，有利于分析问题和解决问题能力的培养，有利于数学应用意识的形成。从近几年的高考“在考查知识的同时，逐步加强了对能力的考查”的趋势看，高考将注重检查考生在所学课程内容能够融会贯通所达到的程度，所以，从这一角度看，最大值和最小值的应用问题在高考数学试卷中仍是一个热点。下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨论：

一、利用二次函数的知识求最值

关于二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0），x∈R，

当x=-时，y=为最值。

当a＞0时，有ymin，

当a＜0时，有ymax。

但通常二次函数有相应的定义域，自变量x的具体取值范围有所不同，讨论最值的方式也有所不同。主要有两种情况：

1.x∈R，当a＞0，则有ymin=；

当a＜0，则有ymax=。

2.当x定义在闭区间，即x∈[a，b]（a，b为常数），则应当看对称轴x=- 是否在此区间，如果x在此区间，则函数同时有最大值与最小值，如果x不在此区间，则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上（具体由函数单调性决定）。当x定义在一个含参数的闭区间即x∈[t，t+a]（t为参数，a为常数）时，需要对参数进行讨论。

例1.点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，

（1）求椭圆C的的方程；

（2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。

分析：这道题应归结于上述类别2。

解：1．解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，

椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴b2=，所求的椭圆方程为。

（2）由已知A（-6，0）、F（4，0），设点P的坐标为（x，y），则=（x+6，y），=（x-4，y）， 由已知得：

则2x2+9x-18=0，解之得 ，

由于y＞0，所以只能取与，于是，所以点P的坐标为（，） 。

（3）直线，设点M是（m，0），则点M到直线AP的距离是，于是，

又点M在椭圆的长轴上，即，，

当m=2时，椭圆上的点到M（2，0）的距离

又，

当时，d取最小值。

二、运用判别式求解

让我们先具体看一下例题，找出这类求解方法的题目特征。

例2.已知定点P（3，2）和直线，试在直线上求一点Q，使过PQ的直线与直线以及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小。

分析：本题设问的是达到最值时过PQ的直线，此时我们需要根据题设寻出关于面积最值的函数解析式，找出它与所求未知量之间的联系。

解：如图，设上的点Q（x0，y0）

由题设知，y0=2x0，

又P（3，2），由直线两点方程得：

设交x轴于M点（x1，0），代入上式得：

，即M点（，0 ）

又SOMQ=

①

，

=S2-8S

由S＞0可得S≥8

Smin=8

代入①式得：

当Q为（2，4）时，SOMQ最小。

评注：关于这类题目，通常其提问方式都是以最值作为前提条件，再由此求出其对应所求自变量的值，具体特征：所列最值的函数解析式或化简后的解析式s=f(x)可以化为：

的形式（是s的函数）。

一般的解决方法：在上式中，由x∈R（或x可在某一定义域范围内取值）可以得出，解这个不等式求出s的变化范围，得到最值，再将其代回原式解x，最终求出其对应自变量的值。

三、利用不等式法求解

均值不等式的一般形式：A=G，（其中a1，a2，…an为正数且n＞1，n∈Z）不等式通常分“基本不等式”和“均值不等式”两种结构特征，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件及等号是否能够取得，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件“一正、二定、三相等”，所谓一正，即正值，这是运用此方法的前提条件，在解题中应予以说明论述；二定，即定值，它须通过恒等变换包括必要的技巧方能解决，是运用此方法的关键条件也是难点；三相等，即等值，是当且仅当等号成立的条件，则可求出自变量的值，最后还应注意的是最值，应为和的最值（此时积为定值）或积的最值（此时和为定值）。

例3、设点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=-相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W。

（Ⅰ）求曲线W的方程；

（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1、l2，分别交曲线W于A、B和 C、D。求四边形ABCD面积的最小值。

解：（Ⅰ）过点P作PN垂直直线y=-于点N。依题意得，所以动点P的轨迹为是以F（0，）为焦点，直线 为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2=6y。

（Ⅱ）解：依题意，直线l1、l2的斜率存在且不为0，

设直线l1的方程为y=kx+，

由得l2的方程为。

将y=kx+代入x2=6y化简得x2-6kx-9。

设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=6k，x1x2=-9

=

同理可得

四边形ABCD的面积：

当且仅当，即时，Smin=72

故四边形ABCD面积的最小值是72。

点评：本题考查了向量的有关知识，抛物线与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

四、利用三角函数求最值

①函数y=sinx，在x=+2kπ，K∈Z时取最大值y=1，

在x=-+2kπ，K∈Z时取小值y=1。

②函数y=cosx，在x=2K ，K∈Z时取最大值y=1，

在x=(2K+1)π，K∈X时取最小值y=1。

例4.求抛物线y2=2Px过焦点F的弦长的最小值。

分析：线段AB上的端点均为流动点，且由题设知该一段与x轴所成夹，角θ应作为一个参变量，此时可考虑用曲线的参数方程来表达流动点。

解： 设过焦点的弦所在的直线的参数方程为：

（t为参数）

代入y2=2Px得t2sinθ－2Ptcosθ－P2=0