二次函数在数学竞赛中的应用

【前言】二次函数在数学竞赛中的应用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。① 一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），图像的对称轴是直线 x=-b2a，顶点坐标是 （-b2a，4ac-b24a）； ② 顶点式：y=a（x-x0）2+h（a≠0） ，图像的对称轴是 x=x0，顶点坐标是（x0，h ）； ③ 交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） ，其中 x1，x2 是方程 ax2+bx+c=0的两根...

【摘要】分类例析数学竞赛中二次函数相关问题的应用及其解答策略。

【关键词】二次函数 性质 数学竞赛 应用

二次函数是中学数学中重要的知识点之一，它是解决一些实际问题的有效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵和外延，因此，在近几年的各类数学竞赛中，有关二次函数的试题频频出现，并有不断拓宽和加深的趋势，那么本文就通过一些实际例子来说明有关二次函数的问题在数学竞赛中的应用及其解决方法。

1 二次函数的表达式与性质

1.1 二次函数的三种常用表达式

① 一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），图像的对称轴是直线 x=-b2a，顶点坐标是 （-b2a，4ac-b24a）；

② 顶点式：y=a（x-x0）2+h（a≠0） ，图像的对称轴是 x=x0，顶点坐标是（x0，h ）；

③ 交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） ，其中 x1，x2 是方程 ax2+bx+c=0的两根，图像的对称轴是 x=x1+x22。

一般情况下应用二次函数表达式解题时应注意：

（1） 已知点为一般情形的三个点坐标时，应首先选用一般式；

（2） 已知顶点坐标或对称轴时，应首选顶点式；

（3） 已知点坐标为抛物线与 轴的交点或是对应二次方程的根时，应首选交点式。

根据已知条件的不同选取不同的方法，有利于简化解题过程。

1.2 二次函数的性质

二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的单调区间的划分依赖于对称轴和开口方向。当 a>0时，二次函数y=ax2+bx+c 的图像开口向上， （-∞，-b2a）为单调递减区间， （-b2a，∞）为单调递增区间，并在 x=-b2a处取得最小值 4ac-b24a。当 a

1.3 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与 x轴的交点坐标与一元二次方程 ax2+bx+c（a≠0）的根的关系：

2 二次函数在数学竞赛中的具体应用

题型1、求二次函数的解析式

例1、已知二次函数 y=x2+2（m+1）x-m+1。

（1） 随着 m的变化，该二次函数的图像的顶点 P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由。

（2） 如果直线 y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1图像的顶点 P，求此时 m的值。

分析：这道数学竞赛题目就是要考查学生利用二次函数的性质来确定解析式的问题，并要求考生结合已学知识进行求解。二函数的解析式有三种形式，分别为一般式，顶点式及两根式，我们需要依据题目所给的具体条件选择适当的表达式，结合函数图像求出待定系数的值。

解：（1） 该二次函数图像的顶点 P是在某条抛物线上，下面求该抛物线的函数表达式：

利用配方法得y=（x+m+1）2-m2-3m ，顶点坐标 P（-m-1，-m2-3m）。

令-m-1=x ， 将 m=-x-1代入y=-m2-3m ，得 y=-（-x-1）2-3（-x-1）=-x2+x+2

故抛物线的函数表达式是 y=-x2+x+2

（2） 如果顶点 P（-m-1，-m2-3m）在直线 y=x+1上，即顶点坐标满足直线方程，则 -m2-3m =-m-1+1 即 m2=-2m。

解得m=0 或 m=-2。

所以当直线 y=x+1经过二次函数 y=x2+2（m+1）x-m+1图像的顶点P 时， m的值为 -2或 0。

归纳：关于求解二次函数的解析式的问题，我们只要抓住二次函数的三种表示方法，出现顶点可选用顶点式，知道对应方程的两根可选用两根式，三种表示方法都可以用，只要计算起来方便即可。

题型2、确定二次函数一般式中系数的符号

二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的二次项系数 a，一次项系数b ，常数项 c及判别式 =b2-4ac与图像之间有直接的联系。

（1）a >0（ a

（2）c>0 （ c

（3）c=0 ，抛物线过原点；

（4） b的符号一般由二次项系数 a和对称轴的位置确定。

有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及与二次方程的联系，结合韦达定理和判别式确定a，b，c， 及系数的代数式符号。

例2、 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，则下列关系式成立的是（ ）。

（A） abc 0

（C） b+2c>0 （D） b2-4ac

分析：本题旨在考查学生对二次函数一般式中系数正负性的判断，只要弄清 a，b，c的符号，问题就能得到解决，因为图像开口向下，所以a

注：当 x=1时，令f（x）= ax2+bx+c（a≠0），则f（1）=a×12+b×1+c=a+b+c ，由已知的图像得f（1）

归结：对于判断二次函数中各系数之间的关系是否成立的问题，可以转化为判断二次函数一般式中系数的正负性，结合图像即可解决问题。

题型3、二次函数中的定点和动点问题

求动点运动所形成的直（曲）线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

解决定点问题有两种方法：

（1） 特殊值法，即令参数取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求出解，则解就是定点坐标。

（2） 转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷多解，得到系数为零的条件再讨论解决。

例3、已知点A（0，3） 、B（-2，-1） 、 C（2，-1）， P（t，t2）为抛物线 y=x2上位于 ABC内（包含边界）的一动点， BP所在直线交 AC于E点 ， CP所在直线交 于F点 。将 BFCE表示为自变量 t的函数。

解：设AB 所在直线为一次函数 y=ax+b的图像。将 A（0 ，3）、B （ - 2 ， - 1） 代入 y=ax+b 解得 a=2，b=3 。

所以 AB所在直线为一次函数 y=2x+3的图像。该直线与抛物线 y=x2的交点的横坐标 x满足方程 x2=2x+3。解得 x1=-1， x2=3。

类似地可求得 AC所在直线为一次函数y=-2x+3的图像，该直线与抛物线y=x2 的交点的横坐标为x3=1 ，x4=-3 。

由于P（t，t2 ）为抛物线 y=x2上位于 ABC 内部的一动点，因此， -1t1。

过点P 作MN∥BC，则BM=CN ，于是，

BFCE=BFBM・CNCE=BCBC-MP・BC-NPBC

=BC-NPBC-MP=BC-[12MN-t]BC-[12MN+t]

=2BC-MN+2t2BC-MN-2t

又 BC=4， MNBC=3-t24，有MN=3-t2 ，故 2BC-MN=8-（3-t2）=t2+5，

因此 BFCE=t2+2t+5t2-2t+5（-1t1）。

题型4、二次函数在闭区间上的最值问题及其利用二次函数的性质解决实际生活中的最值问题

求二次函数 f（x）在闭区间 [m，n]上的最值，看二次函数图像的开口情况及其对称轴与闭区间的相对位置关系来判断二次函数在闭区间 [m，n]上的单调性，进而求最值。具体方法总结如下：

a、设二次函数 f（x）= ax2+bx+c（a >0）

（1） 求函数 f（x）在区间 [m，n]上的最小值。

① 当 [m，n]（-∞，-b2a]，即-b2an 时 f（x）min=f（n）；

② 当 [m，n][-b2a，+∞），即 -b2am时 f（x）min=f（m）；

③ 当 m

（2） 求二次函数 f（x）在区间 [m，n]上的最大值。

① 当 -b2am+n2时 f（x）max=f（n）；

② 当 -b2a>m+n2时 f（x）max=f（m）；。

b、 设函数 f（x）= ax2+bx+c（a

（1） 求函数f（x） 在区间 [m，n]上的最大值。

① 当 [m，n]（-∞，-b2a]，即-b2an 时 f（x）max=f（n）；；

② 当 [m，n][-b2a，+∞），即 -b2am时 f（x）max=f（m）；

③ 当 m

（2） 求函数 f（x）在区间 [m，n]上的最小值。

① 当 -b2am+n2时 f（x）min=f（n）；

② 当 -b2a>m+n2时 f（x）min=f（m）；。

例4、已知二次函数 f（x）=4x2-4ax+（a2-2a+2）在 0x1上的最小值为2。求a 的值。

解：根据题意将二次函数表达式进行配方得：

f（x）=4（ x-a2）2-2a+2

可知其图像的开口向上， 且对称轴为x= a2。即可按其对称轴x= a2 与闭区间 x[0，1]的三种位置关系分类进行求解。

（1） 当 a2

f（x）min=f（0）=a2-2a+2=2

解得 a=0或 2都与 a

（2） 当0a21 ，即 0a2时，依题意得

f（x）min=f（a2）=-2a+2=2

解得a=0 。

（3） 当a2 >1，即 a>2时，依题意得

f（x）min=f（1）=4-4a+a2-2a+2=2

解得a=3±5 。因为 a>2，所以a=3+ 5。

综上所述 a=0或 3+5。

例5、有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3，4共四种不同的档次。 若工时不变，车间每天可生产最低档次（即第一档次）的产品40件，生产每件产品的利润为16元；如果每提高一个档次，每件产品利润可增加1元，但每天少生产2件产品。现在车间计划只生产一种档次的产品。要使利润最大，车间应生产第几种档次的产品？

分析：本题为实际生活中的最值问题，要求利润最大，关键在于结合具体数据列出二次函数的表达式，从而利用二次函数求最值的方法进行求解。

解：设车间生产第 x档次的产品所获得的利润为 y元，依题意可知 y=[40-2（x-1）][16+（x-1）]

= -2x2+12x+630

=-2（x-3）2+648

根据二次函数的性质可知，当 x=3时，利润 y为最大，即为648元。

题型5、 几何图形中的二次函数问题

一般情况下，某个封闭图形的面积是某条线段的二次函数，可通过相似关系、勾股定理、面积关系等几何工具建立函数的解析式，转化为函数问题解决。

例6、如图3，在 ABC 中BC=6，AC=42，∠C=450，P为边 BC上的动点，过点 P作 PD∥AB交于 AC点D ，联结 AP。 ABP 、 APD、 CPD 的面积分别记为 S1、 S2、S3 。设BP=x 。

（1） 试用 x的代数式分别表示S1、 S2、S3 ；

（2）当点 P位于 BC上某处使得 APD的面积最大时，你能得出 S1、 S2、S3 之间或 S1、 S2、S3 两两之间的哪些数量关系（要求写出不少于3条） ？

解：（1）过点 P作 PM AC， AN BC。由题意可知 BP=x（0

AD=ACBC・BP=42x6=223x，

S1=S ABP=12BP・AN=2x，

S2=S ADP=12AD・PM

= 12×223x×22（6-x）=2x-13x3

S3=S ABC-S1-S2=13（6-x）2

（2） 因 S2=2x-13x2=3-13（x-3）2则当 x=3时 S2取最大值，且最大值为3。

此时 S1=6， S3=3。

因此 S1、 S2、S3 之间的数量关系有

S1=S2+S3 ， S2=S3 ， S1=2S2，S1=2 S3。

例7、 如图4 ，扇形 AOB是单位圆的四分之一，半圆 O1的圆心O1 在 OA上，并与图4中AB 内切于A点 ，半圆O2 的圆心O2 在 OB上，并与 AB内切于点B ，半圆 O1 与半圆 O2 相切。设两圆的半径之和为x ，面积之和为 y。

（1） 试建立以 x为自变量的函数 y的解析式；

（2） 求函数 y的最小值。

解： （1） 如上图 ，设O1 、O2 的半径分别为 R、 r。则

y= 12 π（R2 +r2 ）= 12π[（R+r）2-2Rr]

联结 O1O2 ，则连心线必过两圆切点。在 Rt O1OO2中，由勾股定理有 ，（R+r）2=（1-R）2+（1-r）2，即 Rr+R+r=1

故 y=12 π{（R+r）2-2[1-（R+r）]}

=12 π[（R+r）2+2（R+r）-2]

又由题设条件R+r=x 得

y=12π（x2+2x-2）

（2） 因为 R+r2Rr，所以 14（R+r）2Rr

又Rr=1-（R+r ），则 （R+r）2+4（R+r ）-40

因为 R+r0所以R+r2（ 2-1），即 x2（ 2-1）

因此，函数的解析式为

y=12π（x2+2x-2）

当 x=2（ 2-1）时，有最小值 （3-22）π

归结：本题型是几何中最值问题，通过建立二次函数模型，应用勾股定理、两圆相切的性质得到半径的数量关系，利用平均值不等式求得 的取值范围，进而求得最小值。

可见，恒成立问题是函数问题中的常见题型，求解此类问题的方法并不唯一，转化为相应的最值问题比较常用。

综上所述，本文从求二次函数的解析式，确定二次函数一般式中系数的正负性，二次函数中的定点和动点问题，求区间上的最值、二次函数与二次方程的实根分布，几何图形中的二次函数问题五个方面论述了关于二次函数的应用问题，从不同的方面进行了分析，当然不可能面面俱到。只希望做一些浅显的分析总结，帮助学生熟练掌握此类问题的解题技巧，以便能节省出更多的时间去攻克难题，取得优异的成绩，并对以后的教学工作起到很好的辅助作用。

【参考文献】

[1] 王盛裕，初中数学竞赛中的二次函数相关问题（上）.中等数学

[2] 王盛裕，初中数学竞赛中的二次函数相关问题（下）.中等数学

[3] 曹贤鸣，数学竞赛中的二次函数问题（上）.中等数学

[4] 曹贤鸣，数学竞赛中的二次函数问题（下）.中等数学

[5] 姜继学，与二次函数相关的竞赛题 .数理化学习（初中版）