浅谈利用联结词构造新命题

【摘 要】逻辑推理是严谨的科学的推理，也是学生通过学习逐渐培养的重要能力。本文从严谨的角度探讨一类常见的逻辑问题的合理性，并提出自己的建议。

【关键词】逻辑联结词、逻辑或、逻辑且、真值表

在高中课本和各种不同的教学参考书上都出现过“利用逻辑联结词构造新命题并判断真假”的题型，对此，有些学生作出不同的结论，并且争论不休。一些初接触逻辑教学的老师也不能很好的解惑。基于这个原因，我们从问题的出题意图进行了探讨和研究，下面我们就这个问题逐步分析如下：

1、 提出问题

【问题】利用逻辑联结词构造新命题

北师大高中数学选修1-1第一章常用逻辑用语§4（课本第17页）

例2 对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断新命题的真假：

（1）p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；

（2）p：3>4，q： 3

（3）p：π是整数，q：π是分数.

解 （1）新命题：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0，是真命题；

（2）新命题：“3>4或 3

（3）新命题：π是整数或分数，即“π是有理数”，是假命题.

2、 探究问题

对于【问题】中的例题，显然，我们是在对原命题分析总结，并归纳推理出与原命题同真同假的命题作为新命题“p或q”，解答初步看来没有什么问题，但是仔细分析，我们发现在这里存在以下二个问题：

（一） 我们构造的命题与原来的命题的关系？

（二） 如何判定构造的新命题的正确性？

（三） 我们构造新命题的例题设计的教学意图是什么？

下面，我们对应上面三个问题我们来探究【问题】利用逻辑联结词构造新命题：

（一） 我们认为构造的新命题与原来的命题的关系应当是等价的，而不是由原命题进行归纳推理得出的其它命题。理由很简单：原命题如果正确的话，我们可以进行归纳推理；如果原命题本身就不正确，谈何归纳推理。

（二） 我们认为构造的新命题的正确性应该结合真值表来确定：新命题可以归纳推理，但是这种推理只能是等价变形，最终的命题必须与原命题初始形式同真同假。

如果我们把命题p，命题q；进行集合映射分析如下：

如（1）p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；

记A=﹛x︳x是正数﹜，B=﹛x︳x是负数﹜，记C=﹛x︳x2>0﹜

那么命题p对应A是B的子集，命题q 对应A是C的子集，

此时我们不难发现：

（1）的解答写出的并不是“A是B的子集或A是C的子集”

，而是“A∪B是C的子集”

同样类比分析（3）中的命题：

记B=﹛x︳x是整数﹜，C=﹛x︳x是分数﹜，

那么命题p命题对应π∈B，命题q对应π∈C

可以发现（3）的解答写出的可以看作“π∈（B∪C）

在这里构造的新命题显然命题“p或q”真假一致，

（三） 我们认为构造新命 题的例题设计的教学意图应当是学生可以模仿解决相应的问题。而毛病就出在这里，这样的构造新命题的归纳推理的变形具有一般推广意义吗？

也就是说下面列出的等价关系成立么？

通过对集合的子集关系和运算关系的分析，我们不难发现：式子（1）（2）（3）左右同真同假，所以正确；而式子（4）（5）（6）左右并不同真同假所以不正确，我们可以通过下面的例子并结合韦恩图分析：

（4）有如下图的反例： 命题p：实数的平方大于0，命题q：实数的平方等于0，新命题：实数的平方大于或等于0，显然命题p、命题q都是假命题，命题p或q应该为假命题，而新命题为真命题，所以新命题不是命题p或q。韦恩图表示如下：

（5）有如下图的反例： 命题p：小于1的数的平方小于1，命题q：大于-1的数的平方小于1，新命题：大于-1且小于1的数的平方小于1，显然命题p命题q都是假命题，命题p且q应该为假命题，而新命题为真命题，所以新命题不是命题p且q。韦恩图表示如下：

（6）有如下图的反例： 命题p：无理数的平方大于0，命题q：有理数的平方大于0，新命题：实数的平方大于0，显然命题p命题为真，命题q为假，命题p或q应该为真命题，而新命题为假命题，所以新命题不是命题p或q。韦恩图表示如下：

这样看来，虽然我们在这里正确给出了几个特殊命题构造新命题的例子，但是对于学生解决相关问题并没有正面作用，如果学生不非常认真地思考，反而起到负面作用。

3、 解决问题

由于中学生逻辑的学生和严谨的推理都是逐步形成的，所以我们应该多做一些简单严密而具有示范性的练习，而不应该提高难度。