综合题型专题讲解

在历年的中考试卷中，都少不了综合题，这些试题往往涉及代数、几何等多方面的知识. 综合题涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用的数学方法多，纵横联系较复杂，结构新颖灵活，注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求同学们必须具有良好的心理素质和知识功底，能够从已知所提供的信息中，提炼出数学问题，从而灵活地运用基础知识和基本技能创造性地解决问题.

按通常的数学综合题所涉及的知识体系来讲，可将综合题分为单科综合（代数综合题和几何综合题）与双科综合题. 双科综合题又分为以代数为主的代数几何综合题和以几何为主的几何代数综合题. 代数综合题是以方程、函数为主线，结合三角形、四边形、相似形、圆和解直角三角形等知识的综合；几何代数题则是以全等、相似、三角函数等知识为主线，结合方程、函数的综合.

1. 代数综合性试题

（2010四川巴中）“保护环境，人人有责”，为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买A，B两型污水处理设备共10台，其信息如下表：

（1）设购买A型设备x台，所需资金共为w万元，每月处理污水总量为y吨，试写出w与x，y与x的函数关系式．

（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金.

知道两种型号的设备共10台，若设购买A型设备x台，则购买B型设备为（10-x）台，从而A型设备所需资金共为12x万元，B型设备所需资金共为10（10-x）万元，A型设备每月处理污水总量为240x吨，B型设备每月处理污水总量为200（10-x）吨；由设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨可得两个不等式.

（1）w=12x+10（10-x）=100+2x，y=240x+200（10-x）=2000+40x.

（2）由条件可列出不等式组100+2x≤106，2000+40x≥2040， 解得1≤x≤3，所以有三种方案：方案一，购买1台A型设备，9台B型设备；方案二，购买2台A型设备，8台B型设备；方案三，购买3台A型设备，7台B型设备. 方案一需102万元资金，方案二需104万元资金，方案三需106万元资金，所以方案一最省钱，需要102万元资金.

本题考查了用一次函数和不等式组解决实际问题，解决这类问题的关键是根据题意列出函数和不等式组，做题时应注意“不超过”“不低于”等字眼.

（2010四川乐山）已知反比例函数y=的图象与一次函数y=3x+m的图象相交于点（1，5）．

（1）求这两个函数的解析式.

（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标．

（1）因为点A（1，5）在反比例函数y=的图象上，于是有5=，解得k=5， 所以反比例函数的解析式为y=. 又因为点A（1，5）在一次函数y=3x+m的图象上， 所以有5=3+m. 所以m=2．所以一次函数的解析式为y=3x+2.

（2） 由题意可得y=，y=3x+2， 解得x=1，y=5； x=－，y=－3. 所以这两个函数图象的另一个交点的坐标为－，－3.

求函数的交点坐标可以转化成求两个函数解析式组成的方程组的解.

2. 几何综合性试题

（2010江苏南京）如图1，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连结EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG，FG．

（1）设AE=x时，EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（2）点P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．

（1）欲求y关于x的函数关系式，即EGF的面积，观察图形发现S= EF・MG，由条件AM=DM及正方形的性质可得AME≌DMF，所以EF=2EM. 因此求出面积的关键是求出MG． 结合图形发现过点M作MNBC，垂足为N可得RtAME∽RtNMG，进而运用相似三角形的性质可得到MG的长，问题获解；（2）如图2，P1P2（P1是P的起始位置，P2是P的终止位置）是点P运动的路线，由RtABM∽RtP1P2M，AB=2AM，得P1P2=2MP1=2．

（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2；当点E与点A不重合时，0＜x≤2． 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，所以∠MDF=90°. 所以∠A=∠MDF． 因为AM=DM，∠AME=∠DMF，所以AME≌DMF. 所以ME=MF． 在RtAME中，AE=x，AM=1，ME=，所以EF=2ME=2． 过点M作MNBC，垂足为N，则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM． 所以∠AME+∠EMN=90°． 因为∠EMG=90°，所以∠GMN+∠EMN=90°. 所以∠AME=∠GMN. 所以RtAME∽RtNMG. 所以=，即=. 所以MG=2ME=2. 所以y=EF・MG=×2×2=2x2+2. 所以y =2x2+2（0≤x≤2）．

（2）点P运动的路线长为2．

本题是一道以动点为背景求函数关系式的面积问题，添加恰当的辅导线构造相似三角形求MG的长是问题（1）的求解关键． 由于此类问题综合多个知识点进行考查，再加之同学们对运动性问题的分析往往难以达到“动中求静”，因此，近年来各地多以运动问题作为中考数学试卷的压轴题．

3. 双科综合性试题

（2010江苏南通）如图3，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合），连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式.

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若y=，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

（1）设法证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式. （2）将m的值代入（1）中的函数关系式，配方化成项点式后求最值. （3）逆向思考，当DEF是等腰三角形，因为DEEF，所以只能是EF=ED，再由（1）可得RtBFE≌RtCED，从而求出m的值.

（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，所以在RtBFE中，∠BEF+∠BFE=90°. 又因为EFDE，所以∠BEF +∠CED=90°. 所以∠CED=∠BFE. 所以RtBFE∽RtCED. 所以=，即=，所以y=.

（2）当m=8时，y==－（x－4）2+2，所以当x=4时，y的值最大，最大值是2.

（3）由y=及y=得x的方程x2－8x+12=0，解得x1=2，x2=6. 因为DEF中∠FED是直角，所以要使DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，RtBFE≌RtCED，所以当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2. 故当m的值为6或2时，DEF是等腰三角形.

在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”“面积法”与勾股定理建立有关等式，从而转化为函数关系式，这也是中考试卷中的常见考法.