高中数学解题中的“虚设”法

【摘要】虚设是数学解题中的一种很有用的手段，采用虚设策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。

【关键字】整体换元，变换图形，参数引入，坐标巧设

一、虚设法之整体换元

在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。

例1. 已知等比数列 中， ，求 。

解：设公比为q，由于 ，故

于是

÷得 ，则

所以

二、虚设法之变换图形

有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。

例2. 设a、b均为正数，且 ，求证 。

证明：设 ，

则u、v同时满足

其中 表示直线，m为此直线在v轴上的截距

是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。

图1

由图易得 即

三、虚设法之参数引入

恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。

例3. 已知对任何满足 的实数x、y，如果 恒成立，求实数k的取值范围。

解：设 （ ），则

令 ，得

四、虚设法之坐标巧设

在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。

例4. 设抛物线 的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证：直线AC经过原点O。

证明：设点A（ ， ）、B（ ， ），则点C（ ， ）因为AB过焦点F

所以 得 又直线OC的斜率

直线OA的斜率 ，则

故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。

图2

五、虚设法之性质活用

解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。

例5. 求证

证明：设

则

由 可知：数列 为单调递增数列。

又

则

即

六、虚设法之中介过渡

根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决。

例6. 如图3，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角α。

图3

解：过点A作SO的垂线，垂足为M，可知∠MAO=∠AOB=∠OSB=α

设MA=x，OB=r，SO=h则有 化简可得

又因为 即 所以

于是 ，从而

七、虚设法之恒等变形

某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。

例7. 求 的值。

解：设

则

而 ，故

参考资料

【1】 《中学数学教学论》

【2】 《学海导航》高考复习资料

【3】 《中学数学竞赛习题集》

【4】 《高中数学教学参考》