上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考

近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此.

图1

背景1 如图1,点P是正方形ABCD对角线上任意一点. 求证：PA＝PC.

证明 因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°，又因为BP=BP，

所以ABP≌CBPPA=PC.

背景2 接上题，以P为圆心，以PA为半径画弧交AB，如图2（或AB的延长线）于点Q. 求证：PQPC.

图2图3

证明 因为PA=PQ,所以∠1=∠3,

又因为ABP≌CBP∠1=∠2∠1=∠2=∠3,而∠3＋∠4=180°∠2＋∠4=180°,又因为∠QBC=90°,

所以∠QPC=90°PQPC,

当点Q在AB的延长线上时，如图3，

因为∠2=∠3；∠4=∠5，所以BQH∽CPH,所以∠QPC=90°PQPC.

背景3 反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB交于点Q. 求证：PQ=PC.

证明 如图4，5，过P作MN平行于BC交AB、CD于M、N,因为∠1+∠QPC=∠2+∠PNC∠1=∠2,

又因为∠MBP=45°MP=MB=NC,

而∠QMP=∠PNC=90°QMP≌PNCPQ=PC.

图4图5

从上述的几个背景看出，当∠QPC=90°时，一定有PQ=PC，即PQPC=ADAB；但反过来当PQPC=ADAB，即PQ=PC时，因为有PA=PC时∠APC=90°不一定成立，所以∠QPC=90°不一定能够成立.

下面我们将背景弱化：

背景4 若将一个直角顶点放在长方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与长方形的边（或边的延长线）AB交于点Q,如图6，7. 求证：PQPC=ADAB.

图6图7

证明 易证：QMP∽PNCPQPC=MPNC=MPMB=ADAB.

背景5 如图8，矩形ABCD的AB=a，AD=b，点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若PQPC=ADAB，试探索a，b满足什么条件时，会有PQPC.

探索 正常情况下，PQPC=ADAB=MPMB=MPNCQMP∽PNC∠QPC=90°PQPC.

但若点Q关于MN的对称点Q1也在射线AB上时，如同上述背景一样，连PQ1，∠Q1PC=90°就不一定成立了.

这里：MQPN=PQPC=ba；PNDN=PNAM=BCCD=ba.

两式相乘：MQAM=b2a2≤1b2-a2≤0(b+a)(b-a)≤0b≤a.

从这两个背景看出，当∠QPC=90°时，一定有PQPC=ADAB；但反过来当PQPC=ADAB时，∠QPC=90°若遇到b>a时就一定能成立.

图8图9

背景6 如图9，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，若将一个直角顶点放在对角线BD上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与腰AB（或AB的延长线）交于点Q. 求证：PQPC=ADAB.

证明 易证：QMP∽PNCPQPC=MPNC=MPMB=ADAB.

图10

背景7 如图10，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°， AB=a，BC=b，AD=x,点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若PQPC=ADAB，试探索x与a、b之间应该满足什么条件时，一定会有PQPC .

探索 正常情况下，PQPC=ADAB=MPMB=MPNCQMP∽PNC∠QPC=90°PQPC.分析：若点Q关于MN的对称点Q1也在射线AB上时，如同上述背景一样，连结PQ1，∠Q1PC=90°就不一定成立了. 所以这里我们应该关注使∠Q1PC=90°不一定成立的点Q1“最低”位置，其实它就在A点. 并且要使得点Q1的位置“最低”，那么点P的位置只能与点B重合(如图11). 图11图12

这时Q′DP∽PQC，且PQ′=PQxa=abx=a2b,

又因为PQPC=ADAB，而当AD>a2b时，在AB、BC都是定值的情况下，PQ也就变大了，即Q′点就不在射线AB上了（而是在射线BA上了），那样∠Q′PC=90′就不一定成立了(如图12).

2009年上海市中考数学压轴题：

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=ADAB（如图13所示）．

（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图14所示），求线段PC的长；

（2）在图13中，连结AP．当AD=32，且点Q在线段AB上时，设B、Q点之间的距离为x，SAPQSPBC=y，其中SAPQ表示APQ的面积，SAPC表示APC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD

图13图14图15

第一步：对所给的主条件进行分析，做“先期准备”，我们发现当“点P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=ADAB（如图13所示）”时，一定有∠QPC=90°.

第二步：做第一小题时，我们知道AD=AB时一定有PB=PC，又因为有∠BAD=90°∠ABD=45°∠PBC=90°-45°=45°∠PCB=45°BPC=90°,

又因为BC=3PC=32=322. 出题者的本意是想给同学一个∠QPC=90°的提示的. 但是这个提示不明显，直接影响了后面的作图和解决问题，第一小题“铺垫”的目的没有很好地达到.

图16

第三步：第二小题的条件在主条件上加了一个AD=32，所以我们还要对这个AB=2,BC=3,AD=32的等腰梯形单独地做个分析：如图16,这时的ADB是各边之比345的直角三角形，(它也可以推出PQC也是各边之比为345的直角三角形)又因为BC=2AD，也容易证明DBC为等腰三角形，DC=DB等等.

第四步：画出所有运动状态，在“极限图形”中求出x等于多少？y存在还是不存在？

要注意这里的“点P为线段BD上的动点，点Q在线段AB上”，所以有三个图：

在图17中x=0，y是存在的，在图19中

PQPC=ADAB=34PQ52=34PQ=158,

而AD=32=128AQ=98x=78，这时y也是存在的.

所以x的取值范围应该是：0≤x≤78.

在图18中我们容易知道：y=12(2-x)h112×3×h2=2-x3•h1h2=2-x3•ADAB=2-x3×34=2-x4.

第五步：在做第三小题时，由于题中已经明确有“点Q在线段AB的延长线上时、如图15所示”两个明确条件，所以我们在背景中考虑的另类情况在这里就没有必要讨论了.

图17图18图19

最后看来，除了第一小题有点值得商榷外，今年上海市的压轴题紧扣教材（所有的背景都在初二几何证明部分中出现过），注重双基，不偏不怪，也有一定的分析问题、解决问题的能力要求和数学计算要求. 确实是一道好题.