课题学习与评价

2009年江苏省进行了课改以来首次全省统考，全省各市在中考前进行了积极地准备，不少地区中考前的模拟试卷质量很高，出现了不少好题，其中南京的数学一模考试的第27题是一道“亮眼”的“课题学习”型试题．

题目 如图11的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．

（1）如图12，数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm．小明用一张1260cm2的矩形纸方法包好了这本书，展开后如图11所示，求折叠进去的宽度；

（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典．你能用一张41cm×26cm的矩形纸，按图11所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由．

图11 图12

评析 本题的数学思考对象是一个与学生生活实际结合密切的“包书问题”．命题者的文字表述简短，减轻了学生的阅读负担，有效地保证了学生的数学思考时间与精力；所设置的数据贴合实际，同时很好地控制了解答的计算量．

本题的思考解答过程，要求学生经历“‘问题情境建立模型求解解释与应用’的基本过程”，这是课标对初中学段的课题学习提出的具体目标之一．

本题借助实际生活情境提出的包书纸大小的几何图形问题，重点考查了学生建立代数模型的能力．而且对这一几何问题的两小问，需要建立两种不同的代数模型解决．其中问题1需要建立方程模型；问题2解法多样，须分“字典的长与矩形纸的宽方向一致”、“字典的长与矩形纸的长方向一致”两种情况思考包书材料长宽是否够大，方法1：计算符合包书要求的纸的长、宽，再与所给包书纸大小进行比较，方法2：建立不等式模型，分析所给包书纸包住字典折叠进去的宽度，与包书要求比较．不同的代数模型建立都要依赖于学生通过分析、总结、概括从问题背景中抽象出相应的数量关系，因而，数量关系的分析是解决问题的关键之所在．根据本题的数据设计，还可以用包书纸的面积计算、比较，得出矩形纸不能包好这本字典．当然，所给包书纸面积大小符合要求，只是能包好这本字典的必要条件，但不充分，如果面积大小达不到要求，一定包不住；如果面积大小符合要求，还必须做长与宽的分析，才能得出结论．

由本题提供的良好情境和解题思考，还可拓展联想到：报纸包裹一副卷起来的挂历（圆柱体）、报纸包裹一个小礼盒（长方体），报纸的长与宽与所包物体的长与宽不一致.这样会带来更多的思考与探究，又可以形成一个新的课题学习．

如何在中考总复习中认识、开展“课题学习”的复习教学，中考中如何考查、评价这一部分的教学情况？下面谈谈笔者的想法与思考．

1 对“课题学习”的认识

初中数学学习包括“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域．其中“课题学习”归属于“实践与综合应用”这一领域．“课题学习”在课标中有教学目标要求，在教材中有教学的内容与素材，在教参中有教学课时要求．

课标提出了如下教学要求：

在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．

在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题．

具体目标

(1)经历“问题情境――建立模型――求解――解释与应用”的基本过程．

(2)体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识．

(3)获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．

(4)通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．

可见，“课题学习”是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的学习活动．强调密切联系实际、综合应用知识、以探索为主线的解决问题的活动．

2 对“课题学习”的复习教学思考

2.1 “课题学习”的课题素材选择

课题学习的复习素材选择面广，下列素材（以使用苏科版教材为例）供大家参考．

素材选择1 教材中部分“阅读”、“数学活动”、“读一读”、“课题学习”的内容．

（1） “阅读、读一读”

“读一读、阅读”通常介绍与本节、本章内容有关的知识或思想方法．对渗透在“过程”中的基本思想方法，加以简要介绍，以引导学生学会“数学思考”．有利于实现“获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识”这一课标对课题学习提出的具体目标．

（2）部分“数学活动、课题学习”

“数学活动、课题学习”通常是引导学生应用本章知识和方法解决一些实际问题．为学生提供了做数学的机会，设计突出“动”与“用”两个字，引导学生在活动中思考，更好的感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验．教材中部分“数学活动、课题学习”密切联系实际，有利于实现使学生经历“问题情境――建立模型――求解――解释与应用” 这一课标对课题学习提出的具体目标．

（3） 另一部分“数学活动” 突出数学知识，有利于实现“使学生体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识” 这一课标对课题学习提出的具体目标．

素材选择2 《数学综合实践活动（苏科版）》中有不少好的课题

《数学综合与实践活动》教材是依据《标准》和《教科书》编写的，是用于指导学生动手操作实践的活动性材料．旨在落实《课标》中“综合与实践”这一领域的课程目标，力求与苏科版初中数学教材融为一个有机的整体，进一步强化教材“做”数学的特点，为学生提供“做”数学的材料，充分体现以“生活•数学”、“活动•思考”为主线的编写理念．在编写内容上，既有生动有趣的数学探究活动，又有丰富内涵的研究性课题学习．

2.2 教学建议

（1）分类回顾，领悟教材编写的整体性、计划性、系统性．

（2）挖掘实质，每个课题学习素材背后都有相应的数学内涵，对数学内涵、实质的挖掘过程是个提炼的过程，也是能力提升的过程．

（3）适度探索，每个课题学习素材之后都留有很大的继续思考、探索的空间，教师适当地设置一些问题，可拓展学生的思维．

（4）关注这些素材中一些能体现探究、可做进一步拓展思考的好的问题素材或思考解决问题的方式，做进一步的研究、开发，如：拼图 公式；关注一些新颖、灵活的问题呈现方式或载体，如：分式游戏．

（5）课前布置准备，课上做好交流，教师引导提炼，以期提高效率．

（6）确保学生充足的独立思考时间，因为教师、其他学生的思维不能取代学生个人的思维，即使听教师分析、与同学交流讨论也要建立在有学生自己的独立思考的基础上，这样才能收获更实、实现真正意义上的能力提升．

3 中考中对“课题学习”的评价

在“中考”中较为注重通过对“重要数学活动经验”和“数学基本思想方法”的考查来了解“课题学习”的教学情况．“归纳与概括”与“抽象与建模”的能力是两个隐形的能力要求，而“实验与操作”的能力和“综合与延伸”的能力则是两个较为显性的要求．结合课标的目标要求，可将中考对“课题学习”的考查归类为“数学建模型”、“数学探究型”两种类型．

3.1 数学建模型

让考生经历“问题情境――建立模型――求解――解释与应用”的基本过程．

常见模型有：代数模型（包括方程、不等式、函数模型），几何模型；数学建模型问题还包括测量型问题与决策性问题．

图2

例1 （南京中考试题）如图2，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．

评析 本题问题背景简洁、新颖、具有生活性．解决问题不需要用过多的知识点和复杂的思维、计算过程，从学生的直接回答就能判断其思维状况，设置成填充题是适当的．解决问题的关键是能否建立适当而熟悉的几何模型来分析解决问题．

模型1：平角模型

过A点画圆的切线，由平角180°，可知在A点安装3台监控角度是65°的监视器即可监控圆所在切线一侧的区域，当然也能监控整个圆形展厅．

模型2：扇形模型

找到圆心，画出圆周角∠A所对应的圆心角，根据圆心角与圆周角的关系可知，1台监视器可监视圆心角为130°的扇形区域，那么整个圆形展厅可分为3个圆心角为120°的扇形区域，每个区域只需1台监视器，故为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3台．

模型3：圆内接四边形模型

设∠A两边与圆周交点分别为点B、C，在BC上任取一点D，根据圆内接四边形性质定理，∠BDC=180°-65°=115°，则65°

3.2 数学探究型

让考生体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．

例2 （盐城中考试题）阅读理解：对于任意正实数a、b，因为(a-b)2≥0，所以a-2ab+b≥0，所以a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．

结论 在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2p，只有当a=b时，a+b有最小值2p．

根据上述内容，回答下列问题：

若m>0，只有当m=时，m+1m有最小值．

思考验证 如图3，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CDAB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥2ab，并指出等号成立时的条件．

探索应用 如图4，已知A(-3，0)，B(0，-4)，P为双曲线y=12x（x>0）上的任意一点，过点P作PCx轴于点C，PDy轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

图3图4

评析 本题考查的知识覆盖面大，综合了代数中的数与式的计算、不等式、函数，以及几何中的面积计算、三角形、相似、圆等知识．试题结构是：代数推理的阅读理解代数结论几何验证的思考在联系反比例函数的坐标系情境下，应用结论探索四边形面积的最小值，考查了学生理解能力、知识迁移能力．基于“数形结合”思想层面下的横向知识综合，即代数与几何两个知识领域间知识的综合，较好的体现了课题学习之目标：体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识．

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部制订．全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）［S］．北京：北京师范大学出版社，2001年7月．

［2］ 张远增．2008年全国中考数学考试评价报告［R］．华东师范大学出版社，2008.2．