高中复合函数探究

复合函数是高中数学的一个非常重要的概念，虽然在人教A、B版本（必修）中都没有涉及，但是在课本中却又出现了不少与复合函数有关的问题，高考更是考查的热点和难点。结合自己平时教学的实际，个人认为应该在学生学习必修1第二章《基本初等函数Ⅰ》后，给学生补充上复合函数的概念。

一、 概念

（1）基本初等函数。高中课本主要指：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数。

（2）复合函数的定义。一般来说，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x）， 那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫作由y=f（x）及u=g（x）复合而成的复合函数。其中u叫作中间变量，f称为外层函数，g称为内层函数。例如：f（x）=x2+2x+1，g（x）=3x，复合函数f[g（x）]即把f（x）里的x替换成g（x），所以f[g（x）]=（g（x））2+2g（x）+1=（3x）2+2・3x+1。即外层函数里套着内层函数，通俗点说就是一个初等函数（二次函数）里面套着另外一个初等函数（指数函数），但要注意的是绝不是两个初等函数的相乘或相除。再如：y=log2（x2+4x+6）是由y=log2 u，及u=x2+4x+6复合而成的。在此，要让学生分清两点：①该函数到底是不是复合函数。②函数到底是由哪两个初等函数复合而成。这是以后学习选修部分求导的基础。

二、 几类常见问题

（1）复合函数的定义域。函数的定义域是指函数的对应关系中的原象的集合，即自变量x的取值范围，在求复合函数的定义域时要注意定义域一定是求x的取值范围。例1 ：若函数y=f（2x）的定义域是[-1，1]，则y=f（x）的定义域为_______。解析：由-1x1?-22x2，知y=f（x）的定义域是[-2，2]。很多资料都是从内外层函数的角度去解析的，这适用于理解能力很好的学生。我认为，把握好三点，就能解决这类“抽象函数定义域”问题：①定义域一定是指x的取值范围，②括号的范围是相同的，③此处的两个x不是同一个。

（2）复合函数的解析式。例2：已知二次函数f（x）满足f（2x+1）=4x2+4x+5，求f（x）。解析：本题可用待定系数法、拼凑法、换元法。其中换元法更具有一般性。令t=2x+1，则x=，f（t）=4・（）2+4・+5=t2+4，f（x）=x2+4，同时要注意定义域问题。

（3）复合函数的值域。复合函数的值域与一般函数的值域求法基本一致，主要的思想是换元法，通过换元把不会的问题转化为我们熟悉的求基本初等函数的值域问题，当然，此处还是要特别注意定义域优先的原则和换元要求出新元（引进参数）的范围。例3：求函数f（x）=log2（8x）・log（），x[，8]的值域。解析：f（x）=log2（8x）・log（）=（log2x+3）・（log2x-2）=（log2x）2+log2x-6，换元令t=log2x，则t[-1，4]，转化为二次函数y=t2+t-6在闭区间[-1，4]求值域问题，易得y[-，14]，注意换元要求出新元的范围。例4：求函数y=（）x2+2x+2的值域。解析：换元令t=x2+2x+2=（x+1）2+11，转化为求指数函数y=（）'t，t1值域问题，易得：y（0，]，注意指数函数本身值域范围（0，+∞）。

（4）复合函数的单调性。关于复合函数的单调性，我们遵循同增异减的原则，即：y=f（u）与u=g（x）增减性相同，则y=f[g（x）]是增函数，y=f（u）与u=g（x）增减性相反，则y=f[g（x）]是减函数。例5：求函数y=log（4x-x2）的单调增区间。解析：首先求出函数的定义域4x-x2>0?0

总之，高中数学《必修I》对复合函数的教学不能忽视，但是也不能挖掘太深，主要掌握好如何分清内外层函数，比较简单的定义域、解析式、值域、单调区间问题即可。这样，既能为后面选修学习复合函数的求导打下良好的基础，又能深刻理解函数概念。