高效课堂实践的探索

【摘要】：高效课堂教学表现为学生思维活跃、节奏紧密，导致思维能力的长足发展。备、教、学、思的策略是相辅相成的一个整体。如果说课前的备和课后的思是为课堂教学中教、学服务的话，那么课堂教学中教也是为学服务的，因为学是主体进行尝试、探索、自学，教是主导，起到疏引、组织的作用，所以落脚点是学。常思考，常研究，常总结，以科研促课改，以创新求发展，进一步转变教育观念，坚持“以人为本，促进学生全面发展，打好基础，培养学生创新能力”，以构建高效课堂教学模式的研究与运用为重点，努力实现教学高质量，课堂高效率。本文试就一道高中数学联赛初赛试题作粗浅探索。

【关键词】：试题展现；经典再现；刨根问底，探其真面；触类旁通，蘑菇成片；顺理成章，回味无穷

高效课堂是针对课堂教学的无效性、低效性而言的。课堂教学高效性是指在常态的课堂教学中，通过教师的引领和学生积极主动的学习思维过程，在单位时间内（一般是一节课）高效率、高质量地完成教学任务、促进学生获得高效发展。高效发展就其内涵而言，是指知识与技能，过程与方法和情感、态度、价值观“三维目标”的协调发展。就其外延而言涵盖高效的课前精心准备、返归教学本质的课堂教学中实施和教师课后的反思与研究来提高课堂教学效率。课堂教学的高效性就是通过课堂教学活动，学生在认知上，从不懂到懂，从不知到知，从不会到会；在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。本文试就一道高中数学联赛初赛试题作粗浅探索。

一、试题展现

1990年全国高中数学联赛初赛第3题是：

问题1：设N，M分别是双曲线的左，右顶点，F1，F2分别是双曲线的左，右顶点，P是双曲线上异于顶点N，M的任一点，PF1F2的内切圆圆心为I，则圆I与边F1F2切于 （ ）

A 线段MN的内部 B 线段F1M内部或线段NF2内部

C点M或点N D 不能确定

解：设圆I与边F1F2切于点S，则

|PF1|-|PF2|=（|PR|+|RF1|）-（|PQ|+|RF2|）=|RF1|-|QF2|=|SF1|-|SF2|

故由双曲线定义知：点S在双曲线上，从而点S于点M重合，同理当点P在左支上时，点S于点N重合，故选C。

评注：问题1的叙述简洁，解法简洁而巧妙避开了繁杂的计算，展示了运用双曲线的定义并结合平面几何知识处理问题的强大威力，此题堪称经典。

二、经典再现

对问题1在题型上进行变式改编后，就成了如下问题。

问题2：（2006年江西卷（文科）第16题是：已知F1，F2为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，且a≠b）的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任一点，O为坐标原点，下列四个命题：

A PF1F2的内切圆圆心必在直线x=a上

B PF1F2的内切圆圆心必在直线x=b上

C PF1F2的内切圆圆心必在直线OP上

D PF1F2的内切圆圆心必通过点（a，0）

其中真命题的代号是

（写出所有真命题的代号）

解：设内切圆圆心为I，过I作 轴的垂线，垂足为S，则S为切点，设另两个切点为Q，R，所以

2a=|PF1|-|PF2|=（|PR|+|RF1|）-（|PQ|+|RF2|）=|RF1|-|QF2|=|SF1|-|SF2|=（xs+c）-（c-xs）=2xsxs=a，故正确答案是：A，D。

三、刨根问底，探其真面

在得知问题2的答案后，问题2的PF1F2的内切圆圆心的轨迹方程是x=a吗？若不是，其限制条件是什么？于是将问题2作如下引伸：

问题3：已知F1，F2为双曲线C：线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，且a≠b）的两个焦点，N，M分别为左，右顶点，点P在双曲线C上运动，试求PF1F2的内心I的轨迹方程。

解析：由问题2知：点在直线x=±a上，下面我们来共同探讨轨迹方程的限制条件。

探讨1：如图，设P（x0，y0）（x0>0，y0>0），点I的坐标为（a，y），则y>0，则PF1F2的内切圆半径为y。

SPF1F2=12（|F1F2|+|PF1|+|PF2|）y=12（2c+|PF2|+2a+|PF2|）y=（|PF2|+a+c）・y

又SPF1F2=12|F1F2|・y0=cy0，所以（|PF2|+a+c）y=cy0，即y=cy0|PF2|+a+c=c・bax02-a2ex0-a+a+c=b1-2ax0+a x0∈（a，+∞），1-2ax0+a ∈（0，1） ，y ∈（0，b），

结合双曲线的对称性知：点I的轨迹方程为x=±a（-b

探讨2：由双曲线的光学性质知：直线PI为双曲线C在点P处的切线，其方程为x0xa2-y0yb2=1，将其与方程x=a联立并解得：y=b2a・x0-ay0=b2a・x0-aba・x02-a2=b1-2ax0+a。以下与探讨1相同。

综上所述有，结论1：已知F1，F2为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，且a≠b）的左，右两个焦点，若点P在双曲线C上运动，则PF1F2的内心I的轨迹方程是x=±a（-b

四、触类旁通，蘑菇成片

数学教育大师波利亚曾指出：“变化问题使我们引进新内容，从而产生新的接触，产生了和我们问题有关的元素接触的新的可能”，“如果不变化问题，我们几乎不能有什么进展”，“当你找出第一朵蘑菇（或发现第一个问题）后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的”，事实上，以既得结果的形式特征类比地进行猜测，进而提出新的问题并加以解决这是数学学习的一个重要方法。

运用问题1的解法和问题3的探讨方法不难得到以下结论（证明留给学生自己完成）。

结论2：已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0，且a≠b）的左，右焦点，若点P在双曲线C上运动，则PF1F2切在边F1F2上的旁切圆圆心I的轨迹方程是x=±a（yb）。

将思维迁移到圆锥曲线的椭圆和抛物线（视无穷远点为抛物线的另一个焦点）上，又得到以下结论。

结论3：椭圆C：x2a2-y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一动点，则PF1F2切在PF1或PF2边上的旁切圆圆心I的轨迹方程为x=±a（y≠0）。

证明：如图，设M为椭圆C的右顶点，且PF1F2的旁切圆I与各边（或延长线）分别切于Q，R，S，则

|PF1|+|PF2|=2a（|QF1|-|PQ|）+（|PR|+|RF2|）=2a|QF1|+|RF2|=2a|SF1|+|SF2|=2a

由椭圆的定义知：点S在椭圆上，故点S与点M重合。同理，对于圆I与边PF1相切的情形，点S与椭圆C的左顶点N重合。故旁切圆圆心I的轨迹方程为x=±a（y≠0）。

结论4：抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，准线l与 轴交于点K，过抛物线C上一动点P作准线l的垂线，垂足为F'，∠KFP，∠FPF'的平分线交于点I，则点I的轨迹方程为x=0（y≠0）。

证明：如图，设圆I与∠KFP，∠FPF'的边分别切于S，Q，R，则R，I，S三点共线，且|RF'|=|SK|，|SF|=|QF|=|PF|-|PQ|=|PF'|-|PR|=|RF'|=|SK|，即|SF|=|SK|，右抛物线的定义知：点S在抛物线上，故点S与原点O重合，从而点I的轨迹方程为x=0（y≠0）。

五、顺理成章，回味无穷

在解题时，解后的反思不单是简单的回顾或检验，应仔细观察分析问题的结构特点，总结，理清，概括思路，进而提出新问题并加以解决，形成知识的正迁移，达到举一反三之攻效。

总之，高效课堂教学表现为学生思维活跃、节奏紧密，导致思维能力的长足发展。备、教、学、思的策略是相辅相成的一个整体。如果说课前的备和课后的思是为课堂教学中教、学服务的话，那么课堂教学中教也是为学服务的，因为学是主体进行尝试、探索、自学，教是主导，起到疏引、组织的作用，所以落脚点是学。常思考，常研究，常总结，以科研促课改，以创新求发展，进一步转变教育观念，坚持“以人为本，促进学生全面发展，打好基础，培养学生创新能力”，以构建高效课堂教学模式的研究与运用为重点，努力实现教学高质量，课堂高效率。