线性代数教学次第的思考

摘要：线性代数课程是工科数学的基础，如何能教好、让学生学好线性代数，是从事线性代数教学的教师一直讨论的一个问题。本文从线性代数教学次第的角度来思考如何有序地将线性代数的数学思想、方法和应用介绍给学生，并让他们真正认识并领悟线性代数中的数学思想及方法。目的不仅让学生通过线性代数的学习，对以前学习的数学有个新的认识，并能引发他们对后续相关数学课程的探索。

关键词：线性代数；教学次第

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）17-0119-02

线性代数课程属于代数的范畴，研究对象是有限维空间的线性理论，特点是概念多且抽象，概念与概念之间又有错综复杂的联系。很多教师讨论了怎样进行教学内容与教学形式的改革，怎样培养学生的应用意识，怎样培养学生应用MATLAB等数学软件的能力，致力于解决培养适应各种专业的人才，做出教学改革上的思考。但是，如何进行落实？线性代数乃至整个数学的教学目的，都是让学生具备数学的思想，培养数学的思维，掌握数学的方法，并能学以致用，达到这一较高的目标并不容易。笔者认为，需要在教师的教学和学生的学习上有次第。

一、线性代数教学的第一梯次

笔者认为，线性代数教学的第一梯次应该是讲清楚线性代数的理论、方法和计算，让学生课上能听懂，初步领悟线性代数的理论、方法并会进行相应的计算。而要做到这一点，根据笔者这几年的教学经验，认为就是要把线性代数的概念、性质、定理、推论、方法、计算、应用等几个方面讲清楚。具体论述如下：①对于概念，应从概念的引入，概念的内涵、外延，概念和概念之间的区别与联系，新旧概念所形成的知识链几个方面来讲解。这里需要选择恰当的引例、准确的语言、各种情况下的例子及与前面概念的区别与联系的认识，等等。例如，向量组的秩可以用线性方程组的独立方程的个数来引入，[1]即讨论表示方程的行向量之间的线性相关性，说明方程组中独立方程的个数由谁来确定，从而给出向量组的秩的概念。从实例引入向量组的秩的概念，也就是知道这个概念的内涵之后，说明它的外延，即举例说明向量组的秩。有几种情况：一种是只有零向量的向量组，一种是一般的向量组，即极大无关组包含的向量的个数少于向量组所包含的向量的个数，还有一种是向量组本身就是线性无关的，即向量组是其本身的一个极大无关组，即极大无关组包含的向量的个数等于向量组所包含的向量的个数。要描述向量组的秩的概念，就得了解向量的线性表示、线性相关（无关）和极大无关组的概念，这是一条知识链。即：向量的线性表示 线性相关（无关） 极大无关组 向量组的秩。[2]另外，了解向量组的秩的概念与前面学过的矩阵的秩在概念上的联系，是需要讨论的。②性质。性质当然不是凭空而来，它是由概念推导而来的。但是，人们是怎样想到性质的呢？当然也不是凭空想到的。例如，矩阵的运算规律。前面学习了矩阵的线性运算、矩阵的乘法，与数的运算作为类比讨论了他们的运算规律，到了矩阵的转置运算，就想到转置的转置是什么，加入线性运算后就得到两个矩阵相加后得到的矩阵的转置是什么，一个数乘以一个矩阵后得到的矩阵的转置是什么，加入矩阵的乘法就得到两个矩阵的乘积所得到的矩阵的转置是什么，对于矩阵其它运算的性质也是类似的。再比如，逆矩阵的运算规律。首先，是一个矩阵的逆矩阵的逆矩阵是什么，加入线性运算得到的性质，加入矩阵的乘法运算得到的性质，加入矩阵的转置运算得到的性质，加入矩阵的行列式运算得到的性质，加入矩阵的伴随矩阵的运算得到的性质。③对于定理和推论。所谓定理是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。所以对于前人提出来的每个定理，都要进行证明，这样能让学生更好地理解定理的内涵和它的应用。④对于方法、计算。讲完了基本的概念、性质、定理、推论后，应该引入具体的计算方法。但是方法、计算的讲解是要以前面的这些要素作为基础的。应该让学生在理解了这些概念之后，也就是在头脑中对这些概念、性质、定理等有印象了以后，再来理解这些计算的方法。例如，利用矩阵的初等行变换来求一个可逆阵的逆矩阵。这个方法的推导用到了初等阵的概念，用到了初等阵是初等变换的矩阵表示这一定理和任何一个可逆阵都可以分解成有限个初等阵的乘积这一定理，用到了分块矩阵的乘法，等等。只有把要用到的知识都讲清楚、讲明白，方法自然就顺理成章地推导出来了。⑤对于应用。一般的线性代数的教材上具体应用的实例都很少，大部分都是在讲理论与方法，但这是基础。由于学时很紧，在课堂上能把理论与方法讲好已经很不容易。但是，如果只讲理论与方法，会使学生觉得课程太过枯燥，而学习的目的很大部分是为了学以致用，所以适当地列举一些简单的应用实例，是必不可少的，如逆矩阵在对明码加密中的应用等。总之，把这些方面讲清楚是教学的基础，要想使学生更容易接受，还得在讲课思路和教法上下功夫。上述内容，是笔者对线性代数第一梯次的认识，这些都可以在课堂上实现。

二、线性代数的第二梯次

笔者认为，第二梯次应该是第一梯次的升级，即熟练掌握各种概念、性质、定理、计算，更要掌握知识与知识之间的各种联系，这就需要大量的习题训练，从单一的知识点的运用，到复合的知识点的运用。这时，考研题是很好的选择。在课堂上，可以适当地举一些例子，但大部分的训练还是需要学生课下去做的。

三、线性代数的第三梯次

笔者认为，第三梯次是知识的应用，这就需要数学建模的训练，可以从一些简单的数学建模的练习题开始，锻炼学生运用知识、解决实际问题的能力。同时，还可以锻炼学生应用MATLAB来解决线性代数中的计算问题的能力。对于MATLAB的训练，可以建立一个基于MATLAB的《线性代数实验课程》的GUI平台。便于学生的操作和教师的演示。[3]数学建模不仅可以使学生更好地理解引入概念的意义，更能在解决问题的过程中更好地理解线性代数的理论和方法。更深刻地认识线性代数乃至整个数学学科。

四、线性代数的最高境界

线性代数的最高境界应该是创新思维、创新能力的培养。要做到这一点，应该了解代数的起源、现状，才可以把握未来的发展动向。当然，这一目标的实现，需要学生多读一些课外的读物，广泛涉猎综合性的知识。

综上，这是笔者对线性代数教学次第的认识与思考。任何一种教学都是需要有次第的，只有有次第的教学才能使教育真正落到实处，才能让学生在学习上获得更多真实的利益。

参考文献：

[1]杜红等.线性代数（第一版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]王章雄，曹顺娟.“线性代数”概念教学刍议[J].高等理科教育，2009，（6）.

[3]崔秋珍.基于MATLAB的《线性代数实验课程》GUI平台设计与实现[J].电脑知识与技术，2012，11，8（31）.