小波变换在图像处理中的应用探析

摘 要 简要介绍小波变换理论的发展背景，根据傅立叶变换（FFT）方法和短时傅立叶变换（SFFT）方法基本原理和处理信号的特点，结合小波变换原理的时频分析特性和对时变信号的处理能力，文章将小波变换方法引入到了图像信息处理过程中。由于此方法能从图像中获取更多的特征信息，且具有较高的分析精度，并具有较好的重构效果，所以使用该方法对图像进行分析和处理时，效果显著。

关键词 小波变换；图像处理；时频分析；傅立叶变换

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2013）16-0046-02

随着科学技术的发展，利用计算机获取、处理加工图像信息的相关科学技术也得到了迅猛的发展和广泛的应用。在此类信息中，图像是人们传递信息的主要方式，因其生动和直观，受到大多数人的青睐。在以前的众多图像信息分析中，傅立叶变换理论是应用最为广泛且处理效果较佳的分析手段之一。由于该理论分析信息角度的限制，即它只能从频域角度来对信息进行分析，不能分析局部时间段点上的频率信息。随后相关学者在此领域又提出了短时傅立叶变换（STFT），虽然能同时对图像信息的时频域进行分析和处理，但是由于STFT的固定时窗，对于分析时不变信号是有利的，而对于处理时变的图像信息是不利的（因时变信号中高频部分持续时间很短，而低频部分却持续很长），所以为了得到更为精确的分析，希望对高频信号使用大的时窗，对低频信号采用小的时窗来对其进行分析和处理。小波变换理论就是在上述背景下推动发展起来的，它为各种信息处理方法提供了一种框架思想，具备时-频分析功能。此理论一经提出就在医学图像、核磁共振成像、信号分析和图像压缩与重构方面等诸多研究领域得到了普遍的应用。小波变换作为一种信号的变换域或映射空间的信号处理方法，在各种领域得到了广泛的发展，本文即采用小波变换对图像信息进行分析和处理。

1 小波变换基本原理

1.1 连续小波变换

设母小波或基小波为其傅立叶变换对应为，且满足，则母小波函数通过平移和伸缩变换而得到函数簇：

其中为尺度因子，为平移因子。

对任意的图像信息，若小波母函数，则的连续小波变换为：

其中为的共轭函数。此变换对图像信息进行处理具有较强的物理意义，其尺度因子越大，所占宽度越宽，此时该函数的分辨率就越低，平移因子是把相应的窗口移动适当的距离。

1.2 离散小波变换

计算机对信号进行处理时，必须对模拟信号进行数字化。那么对应的处理方法也必须能处理数字信号，所以必须对连续小波母函数离散化处理，离散小波变换主要是针对尺度参数、平移参数进行离散化，根据对参数离散化的数字值，可分为二进制小波和多进小波，应用范围最为广泛的是二进制小波，其对应的离散化形式为，尺度因子离散成，平移因子离散成的形式，离散化二进小波为：

与1.1中图像信息的连续小波变换相比，，若小波母函数，则的离散小波变换为：

二进制小波对图像信号进行分析和处理时具有变焦距的作用，可以根据需要调整信号的时、频分辨率。若需对信号的细节仔细分析，则需提高信号的放大倍数，即减小的值，如需对局部频率进行分析，则需减小的值。在此意义上来讲，小波变换可称为变焦距的数学显微镜。

2 基于小波的图像处理算法

离散小波对图像处理是通过小波构造相应的高低通滤波器实现的，离散化的图像经过小波构造的高低通滤波器可以将图像分解为不同尺度的近似分量（高频分量）和细节分量（低频分量）。

根据小波分解系数中的能量分布和图像边缘信息所在的频带选择对应的高低频小波分解系数进行分析，进而确定图像被噪声污染的程度，同时也可在分解所得的小波分解系数中提取不同的图像信息特征，进而对图像的频率信息和水印信息进行提取。

3 实验仿真分析

为了验证本文方法对图像处理的效果，本文选择lena图像进行分析和研究。对lena图像进行处理时，选用了db3小波，对原始图像进行了3层小波分解。图1为基于小波变换的图像分解与重构，其dwt和idwt标记分别为离散小波变换和离散小波反变换。其中，original Image为lena原始图像，lena图像经离散小波变换后得到Decomposition at level3图，图中画出了各层小波分解的高低小波系数的图像，图中与原始图像颜色不同的方形小区域为不同分解层次的小波高频分量，从图中可看出不同区域的小方格图形都能反映出原图像的轮廓信息，尤其能清晰的看到图像的边缘信息和纹理信息。Approximation at level3图为Decomposition at level3图原始图像第三层小波分解的低频系数，从图像的边缘信息和图像的平滑度可看出第三层低系数能很好的反映原始图像的整个概貌，只是在图像清晰度方面略逊于原图，视觉上稍有变化，但对问题的主要特征分析研究没有影响。Synthesized Image图为各层小波系数经idwt后的重构图像，从原始图像与重构图像边缘轮廓和图像平滑度相比，重构图像与原始图像基本吻合，几乎无误差重构了原始图像。综上分析可知，基于小波的图像处理效果显著，并能很好的重构原图像，同时也能从小波分解系数中提取众多的特征信息。

4 对比与总结

若选用傅立叶变换方法对lena的图像进行处理，处理完的离散化lena图像的灰度图与原图只是颜色上有些变化；而灰度化lena图像的频谱图只能获得整个图像的频率变化趋势，无法获得原图像更多信息。仿真实验表明，傅立叶变换方法对图像进行处理时，不能从图像的频域提取较多特征信息，且不具有时频分析和定位功能。

本文首先对图像处理方法进行了综述，再结合现有信息处理技术，将小波变换引入到图像处理过程中并进行分析和研究。图像处理针对不同使用者的需求，对相同图像的信息获取点不一样，文中针对图像中的纹理信息和边缘信息，分别采用了小波变换和傅立叶变换方法进行了研究和对比分析。实验结果表明，小波变换方法能从图像的时-频角度进行联合分析，能提取较多的特征信息，具有较高的分析精度，且运算速度较快，重构效果较优，而傅立叶变换方法在此方面逊于小波变换方法对图像信息的处理。

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