开拓导数工具性运用的新领域

导数作为工具性知识，在高中数学中的运用十分广泛，它可以与函数、方程、不等式、数列、曲线等知识进行整合，这种整合体现了高考数学命题的原则：在知识网络的交汇点处设计试题。新课程高考中，导数是其宠儿，随着高考对导数应用考察广度和深度不断拓宽加深，对导数运用的考察可能突破现有的几种背景（如函数、不等式等），本文给出几个平时“想不到”的导数运用背景案例，抛砖引玉，引起大家对导数工具性运用范畴的再认识和再学习。

一、利用导数解决数列问题

数列是一类特殊的函数，利用导数这一有力工具来解决此类数列的和、最值等问题，不仅新颖别致，而且可避免因公式、变形等不当带来的错误，值得关注。

例1：（2010年高考四川卷文20）已知等差数列｛an｝的前3项和为6，前8项和为-4。

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）设bn=（4-an）qn-1（q≠0，n∈N*），求数列｛bn｝的前n项和Sn。

解（1）an=4-n（过程略）。

（2）由（1）得：bn=nqn-1（q≠0，n∈N*）

若q=1，则Sn=1+2+3+…+n= ；

若q≠1，则Sn=1+2q+3q+…+nqn-1，将Sn看作q的导函数得：

二、利用导数解决解析几何问题

函数y=f（x）在x=x0处的导数几何意义是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率，从运动的观点我们不难发现，函数y=f（x）图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）连线的斜率的取值范围，就是曲线上在PQ之间任意一点切线斜率的范围，利用这个结论可以解决曲线中与其切线有关的问题。

例2：设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线倾斜角的取值范围为 ，则点P到直线y=f（x）对称轴距离的取值范围是_____。

分析：由于 ，所以0≤2ax0+b≤1，即0≤x0+ ≤，则d=|x0+ |∈[0， ]，答案填[0， ]。

注解：导数解决解析几何问题，主要集中在导数的几何意义上，其应用主要体现在求曲线的切线。

三、利用导数解决三角函数问题

作为函数的三角函数，利用导数可以解决其单调性、极值、最值等常见问题，其实利用导数解决三角函数的奇偶性、对称性、求值求范围等则是导数运用的新看点。

例3： 函数y=cosx+cos（x+）的最大值是________。

解析：y'=-sinx-sin（x+），令y'=0，即-sinx-sin（x+）=0，得sin（-x）=sin（x+）， 所以， ，即x 。由当导函数的值等于零时，对应的x的值即x 有可能是函数的极值点。将x 代入，得y=±√3。所以，函数的最大值是√3。

四、利用导数解决二项式问题

一般来说，对于二项式问题的解决，通常采用二项式中的公式（如kCnk=nC等）进行转化求解，其实在很多时候，可以构造一个含有变量的二项展开式，利用求导和赋值解决问题。

例4：求Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…Cnn。

解析：构造二项展开式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…Cnnxn，对两边求导，则

[（1+x）n]'=n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+nCnnxn-1

令x=1得n・2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn，即Sn= n・2n-1

注解：利用导数工具解决二项式问题，主要是将二项式看作某个高次函数二项展开的系数，通过构造函数，利用导数作为工具，通过研究函数的性质解决二项式问题。

五、利用导数解决数学归纳法中间推理问题

数学归纳法是解决与正整数相关问题的基本方法，如果题目的背景是函数，在完成“n=k”到“n=k+1”的过渡中，导数会成为其中一种非常巧妙的技巧。

例5：用数学归纳法证明：当x>0时，对任意正整数n都有xn＜n・ex。

证明：当n=1时，设g（x）=ex-x，当x>0时，g'（x）=ex-1，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数，故g（x）＞g（0）=1＞0，即ex＞x成立。

假设n=k时，原不等式成立，即xk＜k・ex。当n=k+1时，设h（x）=（k+1）・ex-xk+1，当x>0时， h'（x）=（k+1）・ex-（k+1）xk=（k+1）（k・ex-xk）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，故h（x）＞h（0）=（k+1）＞0即xk+1＜（k+1）・ex即当n=k+1时，原不等式成立。

综上：当x>0时，对任意正整数n都有xn＜n・ex。