管理运筹学课程中对偶性质之间融会贯通的方法探讨

【摘要】管理运筹学的授课对象是管理类专业学生，该专业学生的数学基础相对于理工类1学生稍显薄弱，同时其专业特点要求授课过程倾向于经济含义与管理启示的阐释，而非各个定理与性质的数学推导与证明。对偶问题由于与生产计划决策关联较为紧密，又同属于线性规划问题，也涉及到灵敏度分析这一重要环节，在整个课程中占有较为重要的地位，因此，其各条性质之间如何通过经济含义与管理启示的阐释而实现融会贯通对管理类学生有着非常重要的作用，有利于其更为轻松和清晰地掌握这一部分内容。本文通过由实际问题抽象化出来的两个例子，在建模与求解过程中分析其经济含义和管理启示，从而达到各条对偶性质之间融会贯通。

【关键词】生产计划 出租定价 最优解 对偶性质

一、对偶问题的现实来源

生产计划问题是理论研究和管理实践中较为普遍的问题，也是管理运筹学中的核心问题，近年来的教改论文中从宏观角度整体把握教学效果的较多[1-5]，但针对一个具体问题进行分析的并不够充分，特别是针对生产计划和设备出租定价问题的就更为少见，因此，本文基于一个具体的生产例子讨论生产计划及其对偶问题，比如某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需四种设备按A、B、C、D顺序加工，生产单位甲产品所耗A、B、C、D四种设备的台时分别为2、1、4、0；生产单位乙产品所耗四种设备台时为2、2、0、4；四种设备共有12、8、16、12个台时可利用，单位甲、乙产品的市场价格为2和3元。此种情形下，充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？

该问题属于典型的线性规划规划问题，根据建模的基本准则，设甲、乙型产品各生产x1和x2件，则数学模型为：

反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租设备台时，那么4种机器的机时如何定价才是最佳决策？

在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：

第一，不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。

第二，竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。

设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3和y4，则新的线性规划数学模型为：

以上问题就属于生产计划这一决策问题的对偶问题，

二、对偶问题涉及的重要性质

三、对偶性质之间的融会贯通

经过深入调研，找到以下两个制造企业生产相关数据：

问题I 某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需三种设备按A、B、C顺序加工，生产单位甲产品所耗A、B、C、D三种设备的台时分别为1、0、3；生产单位乙产品所耗三种设备台时为0、2、4；三种设备共有8、12、36个台时可利用，单位甲、乙产品的市场价格为3和5元。

问题II某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需三种设备按A、B、C顺序加工，生产单位甲产品所耗A、B、C、D三种设备的台时分别为0、6、1；生产单位乙产品所耗三种设备台时为5、2、1；三种设备共有15、24、5个台时可利用，单位甲、乙产品的市场价格为2和1元。

（一）基于问题I的建模与求解

（1）生产计划决策

设两种产品生产数量分别为x1和x2件，基于利润最大化的数学模型为：

（2）出租设备定价决策

设三种设备单位台时出租价格分别为y1、y2和y3元，基于出租收益最小化的数学模型为：

（3）原问题与对偶问题的基本解

验证性质4 互补松弛性II：同样地，容易验证某可行解是最优解的充分必要条件。

验证性质5 对偶定理：容易发现原问题和对偶问题同时具有最优解，且最优值相等。

（二）基于问题II的建模与求解

（1）生产计划决策

设两种产品生产数量分别为x1和x2件，基于利润最大化的数学模型标准化后为：

（2）出租设备定价决策

设三种设备单位台时出租价格分别为y1、y2和y3元，基于出租收益最小化的数学模型标准化后为：

四、对偶性质蕴含的经济含义与管理启示

（一）经济含义与管理启示―原问题与对偶问题所涉变量之间的对应关系

根据互补松弛性，原问题第i个约束条件的松弛变量对应了对偶问题中第i个变量，而松弛变量的经济含义是第i种资源剩余能力或者数量，对这种资源的估计正好是对偶问题中第i个变量的值，所以其间存在一一对应的关系，原问题有m个约束条件，对偶问题中就有m个对应的初始变量。

同样地，对偶问题里第j个约束条件的剩余变量对应了原问题中第j个变量xj，而其剩余变量ym+j的经济含义是：生产一件产品j所耗资源用来出租所获价值总和与其市场价格的差值，也即生产一件产品j所产生的机会成本与其市场价格的差值，所以其间存在一一对应的关系，原问题有n个初始变量，对偶问题中就有n个对应的约束条件，表示在出租设备时，对资源定价需要遵守一个原则：出租设备所得收益应比生产更划算。

（二）经济含义与管理启示―互补松弛性

根据（1）中分析的对应关系，在最优解条件下，如果原问题中第i个约束条件的松弛变量的值非零，即该种资源对于企业来讲不属于稀缺资源，在优化过程中没有发挥更多的价值，此时，增加其数量相当于增加库存，对利润值提升不会有任何贡献，因此，对其估价，其值应为零；反过来，对偶问题中第i个变量为零，意味着第i种资源的增加无法带来更多利润，说明其还有剩余，第k个约束条件的松弛变量的值非零，因此有n+i>0？圳i=0，（i=1，2，...，m）。

（三）经济含义与管理启示―检验系数

对偶问题里第j个约束条件的剩余变量ym+j对应了原问题中第j个变量xj，而生产一件产品j所耗资源的边际价值总和与其市场价格的差值正好等于原问题单纯形表中变量xj的检验系数σj的负值，当产品j的市场价格大于边际价值总和时，σj>0，意味着生产产品j有利可图，应安排生产该种产品，即有xj>0，否则生产其他种类产品，即有xj=0。

（四）经济含义与管理启示―兼容性

原问题第i个约束条件的松弛变量对应了对偶问题中第i个变量，而松弛变量的经济含义是第i种资源剩余能力或者数量，在表2中，变量x3的检验系数σ3=0，意味着第一种资源剩余数量的增加无法带来利润的增加，因此对该种资源的估价为零，即y1=0；变量x4的检验系数σ4=-1/4，意味着第二种资源剩余数量的增加，即生产规模的缩小，会带来利润的减少，而该种资源剩余数量的减少，即生产规模的扩大，会带来利润的增加，因此对该种资源估价结果为y2=1/4；同样地，变量x5的检验系数σ5=-1/2，意味着y3=1/4。

对偶问题里第j个约束条件的剩余变量ym+j对应了原问题中第j个变量xj，而其剩余变量ym+j的经济含义是生产一件产品II所产生的机会成本与其市场价格的差值，在表3中，y4的检验系数为σ4=7/2，意味着y4增加一个单位带来出租资源总收益增加7/2，将导致资源出租的竞争地位下降，生产可能性增加；若y4减少一个单位带来出租资源总收益降低7/2，将导致资源出租的竞争地位上升，生产可能性下降，因此对生产计划的调整应是：x1=7/2；同样地，可以得到x2=3/2。此外，当由零增加到1，即增加一个单位时，带来出租资源总收益增加15/2，平均来讲，共有15/2的剩余资源可供出租，因此有x3=15/2。

五、结论

本文基于管理实践前后选取了三个例子，通过建模与求解结果的对比分析，反复验证各条对偶性质，比如互补松弛性和兼容性，而非采用纯粹的数学推导证明性质的正确性。在最优单纯形表结果的基础上，通过检验系数的数学含义分析了互补松弛性和兼容性的经济含义和管理启示。整个分析有利于管理类专业学生在学习本部分内容时不再因为纯粹的数学推导和证明而感到难度很大进而产生厌倦心理，而会因为其与管理实践的紧密联系而感到趣味性，增强其学习动力和信心，为管理运筹学后续章节的学习打下坚实的心理基础和方法基础。

参考文献

[1]王旭.管理运筹学的课程定位研究[J].高等教育研究， 2008，25（3）：75-76.

[2]苏勇.管理运筹学研究与实践中的伦理问题研究[J].学术研究，2007（2）：60-65.

[3]Mark Le Menestrel，Luk Van Wassenhove. Ethics outside，within，or beyond OR models？[J].European Journal of Operational Research，2004，153（2）：477-484.

[4]Richard J.Ormerod，Werner Ulrich.Operational research and？ethics：A literature review[J].European Journal of Operational Research，2013，228（2）：291-307.

[5]韩伯棠.管理运筹学[M].北京：高等教育出版社，2000： 3-4.

基金项目：国家自然科学基金青年基金项目（71301150）；郑州大学优秀青年教师发展基金（1421301093）

作者简介：尚文芳（1980-），女（汉），河南南阳人，博士，郑州大学商学院讲师，研究方向为物流系统规划、供应链协调与优化。