对应思想在解决问题中的应用

对应思想是在两个事物之间建立起来的一种关系（或者说某种规律），即对应关系，从而揭示事物之间的联系. 许多具体的数学思想来源于对应思想，如：数形结合思想、函数思想、变换思想等. 小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此蕴含函数思想. 对应思想是解决数学问题的一种基本思路，它通过两种事物的合集最终建立起某种联系的思维方法，通过这些思维方法搭建了解题的思维桥梁. 所以人们经常用对应思想来分析、解决一些实际问题. 教学中不仅要求我们能通过思考与探索发现这些事物间的对应关系，并且能运用这些对应关系解决基本的数学问题.

一、第一学段，感悟体会，做好预备与铺垫

小学数学教材中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想. 在第一学段，教师要正确理解蕴藏于教材中的“对应思想”，为学生提供丰富的数学活动，从简单的“一一对应”关系开始，让对应思想点点滴滴渗透到学生的学习中去，为逐步发展学生解决数学问题的能力做好预备与铺垫.

如：人教版一年级上册关于“多”“少”的教学. 先让学生观察6～7页主题图（或多媒体课件），同桌互相说说图意，然后教师问：“图中有几只小兔？”“每只小兔搬几块砖？”根据学生的回答，在主题图下出示4只小兔. 逐一将4块砖与小兔一一对应，每对应一块砖都用小圆点把小兔和砖连起来，表示一只兔子搬一块砖. 师：看，1只兔子搬1块砖，正好都对上，没有多余的，我们就说小兔的只数和砖的块数同样多（板书：同样多）. 教材中用虚线上下连接来强化“对应”， 这是教材对“一一对应”思想的渗透. （如图）

又如：一年级上册P89例1：9+4. 如果仅仅只是为了计算，那么教学的设计是：引导学生先思考9凑成十还缺几（缺1），然后把4拆成1+3，最后得出13. 从计算的角度看完成了本节课的教学目标，但进一步思考似乎还缺些什么，在这节课中，能否让学生在积累数学活动经验的同时渗透对应思想呢？是的，可以通过数轴，建立数与点的一一对应关系，要求学生由点找数，由数找点，然后运算. 如下图：

引导学生观察思考：得数是13，我们是怎样得到它的？（先在数轴上找到9，接着往后数4就得到了13）13离数轴上“0”点的距离有多远？它与“10”的关系是什么？从数轴上能十分清晰地看出. 这一环节的教学，教师将加法运算直观形象化，让学生初步感知加法运算的意义. “加法”就是在数轴上继续向右“数”，或者是向右平移若干个单位.

二、第二学段，自觉应用，解决问题

在第二学段的教学中，教师在渗透对应思想的同时，还应逐步培养学生对应意识，使学生能用对应思想方法解决实际问题，逐步学会数学思维，提高解决问题的能力.

1. 在数与代数中，应用“对应思想”发现问题、分析问题、解决问题

当遇到较为复杂的问题时，常常需要通过“对应”的方法化繁为简、化难为易；当遇到较为隐蔽的问题时常常需要找出对应关系，化隐蔽为明晰，变未知为已知，使问题得以解决. 如：“买3个篮球和4个排球需要480元，买3个篮球和6个排球需要600元，买一个篮球和一个排球需要多少元？”

由于条件较多，学生解答往往会觉得较困难，如果学生学会把条件和问题对应摘录在练习本上，或是把题目中的条件对应地列成表格，如下：

学生对以上对应的数量进行分析，就会很快地看出2个排球是120元，这样便轻而易举地解决了问题.

又如：“植树问题”（人教版小学数学四年级下册）这节课的教学，许多教师都遇到这样的困惑：总结出三种不同情况的规律后，在进行综合练习时，学生却常常分不清是用“棵数加1”、还是“棵数减1”或者“不加不减”. 究其原因，主要是教师在教学过程中只注重引导学生通过操作探究得出结论，而没有挖掘知识之间内在的联系，导致学生只是机械地记住结论，因此在进行综合练习时产生了困惑，造成了混淆. 如果能引导学生找到规律背后隐藏的数学思想——对应思想，并用这种思想指导教学，会收到事半功倍的效果.

片段教学如下：

师：同样求棵数，为什么有时要加1，有时要减1，有时却不加不减？你们能结合图说说看法吗？（根据学生的回答，教师用箭号把一棵树与一个间隔数一一对应）

师：现在我们借助电脑来看一遍，在一条路上植树，如果两端都种，我们可以这么看，也就是一棵树对应一个间隔，到最后一棵树的时候，会怎么样？（少了个间隔和它对应了）可见树的棵数比间隔数多1.

师：我们反过来再看看，也是一棵树对应一个间隔，到（最后一棵树的时候怎么样？）

生：也少了个间隔和它对应了.

师：所以在两端都栽的情况下，棵树比间隔数多1. 也就是，间隔数 + 1 = 棵数.

这一教学过程让学生利用直观画解释“棵数”与“间隔数”之间的关系，巧妙地渗透“一一对应”的数学思想，沟通知识间的内在联系，使学生能够理解知识之间内在的联系，并灵活地运用植树问题的数学模型解决生活中的植树问题.

分数应用问题的教学，是小学阶段解决问题中较为抽象的内容，也是教学的难点. 教学中若能把“数形结合”与“对应思想”相结合，这一问题便迎刃而解. 让学生通过线段图，发现具体量与分率之间的一一对应关系，并利用量与率的对应关系来确定解题策略，寻找解题方法.

2. 在图形与几何中，利用对应思想推导公式、建立数学模型、发展数学思考

在第二学段研究的平行四边形、三角形、梯形、圆，这些平面图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，先将图形转化为已经学过的图形，然后探索转化后的图形与原来图形的联系（即转化后的图形与原来图形的对应关系），发现新图形的面积计算公式这样一个过程. 如平行四边形面积公式的推导过程：当学生把平行四边形转化成长方形后，教师引导学生观察转化前后的两种图形，发现其中多处体现了对应关系，“长方形面积”与“平行四边形面积”相对应， “长方形的长”与“平行四边形的底”相对应，“长方形的宽”与“平行四边形的高”相对应. 在这些对应关系的基础上，平行四边形的面积公式才顺利推导而出. 其次，在利用公式计算面积或体积时也要强调对应. 如在“三角形的面积计算”教学中，先要求学生能熟练地寻找每条底边，以及与这条底边对应的高. 当学生学会三角形面积计算时，教师可以利用图形的动态变换，如三角形的面积中，同底等高的三角形有无数多个. 这就使学生理解一个面积的数量，对应了无数多个图形.

又如（六年级上）学习用“数对”表示“位置”时，教师将座位平面图抽象为比较形象的直角坐标系，建立“数对”与平面上“点”之间的一一对应关系. 在这一过程中让学生初步体验到，有了坐标系后，整个平面就“结构化”“模式化”了，可以用一对有顺序的数来唯一确定平面上的一个点. 利用对应关系既渗透了数形结合思想又培养了空间观念.

在教学中应该注意，渗透数学思想与解决问题是分不开的，他们是统一的、融合的. 只有在教学过程中潜移默化、日积月累地渗透，才能收到较好的效果.