解决直线和圆的位置关系问题——圆心到直线的距离

直线和圆的位置关系是平面解析几何的重要内容，体现了运用代数方法处理几何问题的重要思想，是高考考查的重点.解决该问题的抓手是圆心到直线的距离.无论是直线和圆的基本问题或是综合问题，只要紧紧抓住圆心到直线的距离这个量，问题都可以得到有效的解决.

一、基本问题

1.直线和圆的位置关系

设直线l：Ax+By+C=0，

圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，

圆心C到直线l的距离为d=|Aa+Bb+C|A2+B2 .

（1）d>r相离；

（2）d=r相切；

（3）d

2.求切线方程

【例1】 自点A（-1，4）作圆（x-2）2+（y-3）2=1的切线l，求切线l的方程.

解：由题意可知，切线l的斜率存在且有两条.

设直线l的方程为y-4=k（x+1），

即kx-y+（k+4）=0.

因为直线与圆相切，所以圆心（2，3）到直线l的距离等于圆的半径，故

|2k-3+（k+4）k2+1 |=1，

解得k=0或k=-34 .

因此，所求直线l的方程是y=4或3x+4y-13=0.

3.求弦长

【例2】

设直线l：Ax+By+C=0和圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2相交于A、B两点，

求弦AB的长.

分析：取弦的中点D，连结CD，则CD垂直平分弦.

因为圆心C到直线AB的距离为d=CD=|Aa+Bb+C|A2+B2 ，

在RtACD中，由勾股定理知AD=r2-d2.

所以AB=2r2-d2.

【例3】

直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，

求|AB|的值.

分析：取AB的中点C，连结OC，则OC垂直平分弦AB.

因为圆心（0，0）到直线x-2y+5=0的距离为5，

所以在RtAOC中，由勾股定理得|AC|=3，所以|AB|=23.

二、综合问题

【例4】

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4，若直线过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程.

解：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0.

因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以圆心（-3，1）到直线的距离为1.

所以|k·（-3）-1-4k|k2+1=1 ，所以k=0或k=-724 .

所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.

【例5】 已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M.圆O：x2+y2=1，过M点的直线l1交圆O于P、Q两点，且弧PQ恰为圆周的14 ，求直线l1的方程.

解：因为弧PQ恰为圆周的14 ，所以∠POQ=14×360°=90°.

因为在RtPOQ中，OP=OQ=1，所以PQ=2，

所以圆心（0，0）到直线l1的距离为22 .

由题意可知，直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x+2）.

因为（0，0）到直线l1的距离为22 ，所以|2k|k2+1=22 ，解得k=±77 .

所以所求直线l1的方程为y=±77（x+2） .

【例6】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，求实数c的取值范围.

分析：因为圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，

所以圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离d

所以|c|13

【例7】 已知直线kx-y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，若点M在圆C上且有OM=OA+OB

（O为坐标原点），求实数k的值.

分析：因为OM=OA+OB，所以以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB.

因为OA=OB，所以平行四边形OAMB为菱形，所以AB垂直平分OM.

因为OM=2，所以圆心（0，0）到直线AB的距离为1，

所以1k2+1=1 ，解得k=0.