浅析函数定义域与思维品质

【摘要】函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

【关键词】定义域；思维能力；创造性

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现，它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终，在高考中占着重要的地位，平时教学必需引以重视，真正理解其含义，尤其是定义域。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x）。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围，因为当自变量 取负数或不小于50的数时，S（面积）的值是负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围： 即：函数关系式为：S=x（50-x）（0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若能注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好的严密性。

二、函数的最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最值。

解：y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化，这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c（a>0）在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：

（1）当-

（2）当->q时，y=f（x）在[p，q]上单调递减函数f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；

（3）当p≤-≤q时，y=f（x）在[p，q]上最值情况是：

f（x）min=f（-）=，

f（x）max=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：-2≤1≤5

f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数的单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f（x）=log2（x2+2x）的单调区间.

解：先求定义域：x2+2x>0 x>0或x

函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）.

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，

在x∈（0，+∞）上时， u为增函数。

又f（x）=log2 u在[0，+∞）是增函数.

函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

即函数f（x）=log2（x2+2x）的单调递增区间（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

四、函数的奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例4：判断函数y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性.

解：2∈[-1，3]而-2?[-1，3]

定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

函数y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函数.

若学生能像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性， 如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x）函数y=x3，x∈[-1，3]是奇函数.

以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献：

[1]王岳庭主编 数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集 海洋出版社1998.

[2]田万海主编 数学教育学 浙江教育出版社1993.