分类思想在教学中的应用

《数学新课程标准（2011年版）》在总目标第一条提出：“通过义务阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”在总目标中，又从四个方面（知识技能、数学思考、问题解决、情感态度）对基本思想作出这样的阐述：“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”

那么“基本思想”包括哪些呢？东北师范大学校长史宁中教授将基本思想界定为：抽象思想、推理思想和模型思想。很多专家学者认为数学思想是有层次的，这三个基本思想属于较高层次，并由此演变、派生、发展出很多其他的较低层次的数学思想，比如分类思想就是其中的抽象思想之一。

从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地进行分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里，细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。当人们面对比较复杂的问题，有时候无法通过统一的研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类的思想方法。

分类数学思想作为解决问题的一般的思想方法，它在小学数学学习中广泛应用，它是培养学生有条理地思考和良好的数学思维品质的一种重要而有效的方法。分类思想在教学中的应用主要体现了它的哪些作用呢？我认为：应用分类数学思想，不但可以培养学生有序地、有条理地去思考并解决问题，还可以在解决问题中促进学生高级思维的发展；在学习过程中把积累的知识应用分类的分法，还可以形成系统的知识结构，进一步促进学生对知识的理解；分类思想作为常用的一种思想，它并不是单一地存在于教学过程中，常常也渗透着其他的数学思想。

一、应用分类培养思考的条理性

数学新课程标准（2011年版）在总目标第二条提出“运用数学的思维方式进行思考”。数学思考的部分特征包括有顺序地、有层次地、全面地、有逻辑性地思考，分类讨论就是具有这些特征的思考方法。

分类的规则与解决问题的步骤是：①根据研究的需要确定同一分类的标准。②对研究对象进行分类，所有的子项之间既不能“交叉”也不能“从属”。③逐类逐级进行讨论。④综合概括、归纳得出最好的结论。

二、应用分类促进思维的高级发展

数学新课程标准（2011年版）在总目标第二条提出“运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力，分析和解决问题的能力。”在总目标中的数学思考方面又作出这样的阐述：“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”数学中大量的公式、定律、性质，概念需要不断地实践与总结才能被发现，分类讨论有助于提高学生的观察能力，归纳总结规律的能力，并在潜移默化中培养学生的逻辑思维，抽象思维以及创新思维。

例如，三年级下册的一道练习题：“用0、2、4、6可以组成多少个没有重复数字的晌皇？”

如何正确地写出这些数，并且做到不遗漏也不重复呢？显然，对于小学生而言，此类问题如果用有关排列组合的方法来解决，会存在着很大的难度。只有利用分类讨论的方法，通过数位表对符合条件的数进行一一列举，确定分类的标准：十位上的数可以是2、4、6，但是不能是0；在确定分为三类之后再一一列举数：十位上是2的数有20、24、26；十位上是4的数有40、42、46；十位上是6的数有60、62、64；一共有9个两位数。

在采用分类学习过程中，学生通过观察两位数的十位上的数的特征，采用分类讨论的方法，培养了学生的观察能力；通过分类列举数，学生的归纳推理能力得到了提升，也初步感知了排列与组合的抽象思想，对它们的含义通过列举演绎过程得到进一步理解，培养了学生解决问题的逻辑性和紧密性。

三、应用分类构建良好的知识结构

归纳法是数学中常用的一种学习方法，它属于分类思想。在小学阶段数学的教学内容是按照一定的类别进行单元学习，到高年级时，学生对知识的存储量达到了一定的程度，需要对学过的知识进行分类，从而构建出完整的知识体系。完整的知识体系的构建有利于帮助学生提高学生的记忆并且灵活应用解决问题。对知识的归纳与整理，需要根据知识的共性进行分类整理，通过对比共性与异性，找出知识之间的内在联系，构建清晰的知识体系。

四、应用分类渗透其他的数学思想

在分类讨论的学习过程中，也渗透着其他的数学思想与方法。在小学阶段的三大领域知识（数与代数，图形与几何，统计与概率）的学习中，经常应用到分类思想与集合思想。分类思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想，集合思想也离不开分类，一个元素是否属于一个集合，标准是明确的。

例如在认识“公因数”的教学中，通过分类学习，不但渗透了分类的数学思想，还渗透了集合的思想。

师：同学们，今天我们一起来玩一个游戏。请学号是12的因数的同学站到讲台的左边。

学号是12的因数的学生（1、2、3、4、6、12）站到左边。

师：再请学号是16的因数的同学站到讲台的右边。

学号是16的因数的学生（1、2、、4、8、16）站到右边。

师：你们发现了什么？

生：我发现了学号是1、2、4的同学从左边站到右边去了。

师：为什么他们两边都站了呢？

生：因为1、2、4不仅是12的因数，还是16的因数。

这时候，教师就适当地引出：什么是公因数――就是两个数共有的因数。

师：学号是1、2、4的同学应该站在左边还是右边？

生：应该站在中间。

教师：为什么呀？

学生：因为它们都是两边的因数。

教师：如果用集合来表示，可以怎样表示呢？

这时，教师用两条不同颜色的绳子分别把是12和16的因数的学生分别圈起来，学生观察并发现：1、2、4号的学生同时被两条绳子围住。在教学中，学生参与游戏活动，在游戏活动中利用站队的方法，把12和16的因数进行分类，初步感悟公因数这个抽象的概念，在分类活动中感悟分类思想，在具体形象中概括出公因数的抽象定义；同时利用绳子围圈的办法，让学生感悟到集合思想。