从高考湖北卷数学理科第13题话回文与回文数

2012年高考数学湖北卷理科第13题如下：

回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99. 3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有 个；（Ⅱ）2n+1（n∈N*）位回文数有 个.

回文“palindrome”一词来源于希腊语的“palindromo”，意为“running back again”，是指无论顺拼（写）或倒拼（写）都完全一样的词、诗歌、句子或数字等.如我国清代著名女词人吴绛雪曾有咏四季的四首回文诗《春夏秋冬》，其中的《夏》为：

香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长.

长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香.

诗词描绘了一副卷卷夏日凉风吹拂湖面，水波荡漾，荷花飘香的美景，读来音韵优美，意境清新，形式奇妙，可为佳作.而在中国诗坛上这样的回文诗句举不胜举.

北京“天然居”餐馆，迎面有对联：

客上天然居，居然天上客.

客人看了心境特好，而且上、下联为回文联.据说乾隆皇帝别出心裁，把两句并成新的上联，征求下联.大臣纪昀机敏过人，对出下联：

人过大佛寺，寺佛大过人.

对仗工整，体现了对称、和谐、高雅美！

再如英语中有回文单词：radar（雷达），level（水平，水平面），rotator（旋转体），pop（流行音乐），deed（行动），civic（市民的）等等；还有回文句，如：Able was I ere I saw Elba（不见厄尔巴岛，我不倒.这是拿破仑被问及是否已入侵英格兰时的回答）；Ma is as selfless as I am（妈妈和我一样无私）；A man，a plan，a canal，Panama！（伟大的人，伟大的计划，伟大的巴拿马运河），等等，这样的回文单词和回文句子在英语中同样举不胜举.

随着时代的发展，现在各种广告中还出现一些回文商标，如101生发水、505神功元气袋、414毛巾、555香水、999胃药等，其中的数字都是回文数，就连常见的呼救信号SOS也都是回文.可见，“回文”现象无处不在.而在数学中，最有趣的就是回文数了.下面我们谈谈数学中回文数的一些有趣问题.

1. 回文数的个数

显然两位数的回文数有11，22，…，99，共9个；三位数的回文数有1i1，2i2，…，9i9，i=0，1， …，9，共90个；四位数的回文数有1ii1，2ii2， ……，9ii9，i=0，1， …，9，共90个；相应的，五位数的回文数有900个，六位数的回文数也有900个，…，由此可归纳猜想一般结论：

命题1 n位数的回文数的个数，当n=2k（k∈N*）时有9×10k—1个；当n=2k+1（k∈N*）时有9×10k个，其中k∈N*.

证明 设回文数为a1a2…an—1an，当n=2k（k∈N*）时，必有a1=a2k，a2=a2k—1，…，ak=ak+1，显然，a1与a2k可取1，2，…，9；a2与a2k—1可取0，1，…，9；…；ak与ak+1可取0，1，…，9，故根据乘法原理，当n=2k（k∈N*）时的回文数个数为1个9与（k—1）个10相乘，即9×10k—1个.

当n=2k+1（k∈N*）时，必有a1=a2k+1，a2=a2k，…，ak=ak+2，ak+1=ak+1，显然，a1与a2k+1可取1，2，…，9；a2与a2k可取0，1，…，9；…；ak与ak+2可取0，1，…，9；ak+1可取0，1，…，9，故根据乘法原理，当n=2k+1（k∈N*）时的回文数个数为1个9与k个10相乘，即9×10k个.

由此知高考题的答案是：（1）90；（2）9×10k.

2. 回文数的几个性质

回文数与11有特别的关系：

命题2 从1到9的任何一个数乘以11，总能得出回文数，如2×11=22，7×11=77等.

如果一个回文数的位数是双数，那么它总能被11除尽，如6556÷11=596；32523÷11=29593等.我们将这个性质叙述为如下的命题

命题3 每一个偶位数回文数均可被11整除.

证明 设回文数为a1a2…an—1an，当n=2k（k∈N*）时，a1a2…a2k—1a2k=a1a2…akak+1…a2a1，显然，a1可取1，2，…，9；a2，a3，…，ak可取0，1，…，9，故a1a2…akak+1…a2a1=a1+10a2+…+10k—1ak+1+10kak+…+102k—2a2+102k—1a1，而10

—1（mod 11），1021（mod 11），103—1（mod 11），…，102k—1—1（mod 11），故a1a2…akak+1…a2a1a1—a2+a3—…—a3+a2—a10（mod 11）.

注 命题3中，当回文数的位数是4时即为1992年云南初二年级数学竞赛题，题目如下：

把一个正整数的数码按顺序倒写后所得的数与原数相同称为回文数，例如：22，101，342243，…

（1）将任意两个四位回文数的差记为x，求x的最小正值m；

（2）证明：每一个四位回文数都能m被整除.

命题4 如果一个回文数的位数是双数，并且越往中间数字越大，越靠两头数字越小，那么用它除以11的商一定是回文数，如2456886542÷11=223353322，2558998552÷11=232636232等.证明留给读者.

除此之外，还有许多有关回文数的有趣性质，如

命题5 任意两个凡是由1组成的数位不超过9的回文数相乘时结果一定也是回文数，如11×11=121，111×1111=123321，1111×11111=12344321等.这是有限个式子，读者完全可以一一验证，但有没有具体的证明方法，笔者还未找到.