有理函数与拓扑空间上的完全不变集性质及其证明

【前言】有理函数与拓扑空间上的完全不变集性质及其证明由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。定义1：设X是非空集合，g是X上的自映射，E是X的子集，若满足（1）若g（E）=E，则称E是g的向前不变集;（2）若g-1（E）=E，则称E是g的向后不变集;（3）若g-1（E）=E=g（E），则称E是g的完全不变集. 特别地，当g（E）=X时，则向前不变集与向后不变集是等价的，即在满射情...

摘 要：完全不变集是复分析动力系统中一种重要的满射情况下的特殊集合，而有理函数族是一类常见而又重要的复解析映射，通过分析有理函数与拓扑空间上的完全不变集性质，并给出详细的证明，为后期研究各类集合的完全不变集的性质提供一些理论和证明依据。

关键词：有理函数;拓扑空间;完全不变集;性质;证明

一、引言

作为Fatou集和Julia集中一类重要的特殊集合，当向前不变集与向后不变集相等时该集合就会成为完全不变集。某集合成为不变集的性质探讨一直是个难点。本文将通过分析有理函数和多项式、拓扑空间上的有关性质，进而探讨有理函数、多项式、拓扑空间上的的完全不变集性质，并给出详细的证明，这样的证明过程涉及的证明方法和理论为后期研究其它的集合的完全不变集的性质提供一些理论依据。

二、完全不变集的概念及性质

定义1：设X是非空集合，g是X上的自映射，E是X的子集，若满足（1）若g（E）=E，则称E是g的向前不变集;（2）若g-1（E）=E，则称E是g的向后不变集;（3）若g-1（E）=E=g（E），则称E是g的完全不变集.

特别地，当g（E）=X时，则向前不变集与向后不变集是等价的，即在满射情况下成立.

定义2：设D是一个区域，f：DD∞是连续映射，则f在D上等度连续，当且仅当 f 在D上正规.

如果R是次数≥2的有理函数，z*∈J（R），则满足下列三个结论：

1. J（R）=[z*]（原因：J（R）是R的完全不变集）;

2. J（R）=[z*]（原因：E（R）F（R）及是R的闭的完全不变集，#[z*]≥3，

这就使得且）;

3.J（R）=[z*]'（）问题： 以O-（z*）取代[z*]，以上结论还成立吗？ 由已知可得

.

三、有关完全不变集的定理及证明

定理1：R（z）是非常数的有理函数，则F（R）与J（R）均为R的完全不变集.

证明：根据题设，只需证明F（R）为R的完全不变集.因为R是D∞到D∞的漫射，从而只需证明F（R）为R的向后不变集.任取z0∈R-1（F），令w0=R（z0），则w0∈F，{Rn（z）|n≥1}，从而对，使得当σ（w，w0）

再结合R在z0处的连续性可知，{Rn（z）|n≥1}在z0处等度连续，即z0∈F（R），故R-1（F）F.又若z0∈F，再令w0=R（z0），这时w0∈F，从而对于，，使当σ（z，z0）

{Rn（z）|n≥1}在w0处等度连续， w0∈F，因而，故F=R-1（F）.

定理2：设P≥2是次数为的多项式，则∞∈F（P），且F（P）含有∞的分支F∞是的P完全不变集.

证明：显然的邻域W，使得Pn（z）∞（n∞，

z∈W），，当M>M0时，P'（M）≥2M0，P2（M）≥22M0，……，Pn（z）∞，即对于，，

当n>N时，，有，从而对，有

因此，在W上等度连续，故由定义可知，∞∈F（P）.又由F∞是连通的，且P-1（∞）={∞}，再由P-1（F∞）是连通的，可得到P-1（F∞）=F∞，故F∞是P的完全不变集.

定理3：设f是拓扑空间X上连续满自映射，若X仅有ε限于分支

Xz（z=1，2，…，q），则，使得Xj（j=1，2，…，q）都为f m的完全不变集.

证明：因为，Xj均为X的分支，j=1，2，…，q又因为f是X的连续满自映射，从而对，f（Xj）必与X的某一个唯一确定的分支Xz（j）完全重叠，从而由诱导一个（1，2，…，q）的置换群，又因为置换群的阶是有限的，设该阶为m，即τmI是一个恒等映射，故有f m（Xj）=Xj，j=1，2，…，q

又由已知条件可知，f m是X上的满自映射，而f m对于τm是恒等映射，因此Xj是f m的完全不变集.

参考文献

[1]（英）阿姆斯特朗.基础拓扑学 [M]. 人民邮电出版社出版， 2010：86―87.

[2] 丘维声.抽象代数基础（第二版）[M]. 高等教育出版社，2015：69-70.

[3]（英）鲁丁. 实分析与复分析（英文版・第3版） [M].北京：机械工业出版社，2004： 115―116.