整系数多项式有理根的求法

[摘 要] 多项式是代数学的基本研究对象之一，是研究许多数学分支的工具。本文主要通过介绍多项式有理根的检验来说明多项式有理根的求法。

[关键词] 整系数多项式 有理根 检验

一、整系数多项式有理根的检验

多项式的求根问题历来是多项式理论的重要内容之一，为了尽可能减少有理根的判别范围，除考虑多项式首项系数及常数项外，再利用次高项和一次项系数作辅助，得到整系数多项式有理根判别的一个必要条件，从而使整系数多项式有理根检验的范围得到缩小。为讨论方便，给出下面定理。

【定理1.1】设是一个整系数多项式。若有理数是的一个根，这里和是互素的整数，那么，(1)整除的最高次项系数，而整除的常数项；(2)，这里是一个整系数多项式。

在定理中令或，不难得到下面的推论。

[推论1.1]若是整系数多项式的有理根，则必全为整数。

[推论1.2]若是整系数多项式的有理根,,则且。

[推论1.3]若整系数多项式各项系数之和为素数，则有理数必须满足或。

[推论1.4]若整系数多项式的常数项为奇数，而为偶数，则不是的根。

【定理1.2】设是一个整系数多项式，若有理数(其中是的一个根,则必有。

[推论1.5]设，，若，则一定不是的有理根。

[推论1.6]设，若，则一定不是的有理根。.

二、整系数多项式有理根的求法

【定理2.1】设既约分数，多项式除整系数多项式，所得的商式为，余式为常数，多项式除多项式所得的商式为，则(ⅰ)为的一个根的充要条件为的各系数都能被整除，并且；(ⅱ)为的一个根的充要条件是为的一个根；(ⅲ)当为的一个根时，。

由以上定理及相关推论,得出求整系数多项式有理根的方法：

第一步，判定是否存在有理根；

第二步，若有,求出和的所有因数；

第三步，用的因数做分母，因数做分子，列出所有可能的既约分数；

第四步，先判断出是否为的，再对第二步求出的既约分数进行检验，如果与都是整数，那么的根可能是含有这个；如果两数不全为整数，那么的根一定没有这个；

第五步，检验第三步选出来的既约分数可能会是的根，用除（可用综合除法），如果除得余数为零，那么是的根，反之，不是的根。.

我们用以下例子简要说明上述方法的应用。

【例】求整系数多项式的全部有理根。

解：，的因数是；的因数是。于是可能的有理根是,。

第一步：经计算，，所以不是的有理根。

第二步：因为，所以不是的有理根。

第三步：因为不是整数，所以2不是的有理根。

第四步：因为时，，所以不是的有理根。

这样,经过上述四步,可能的有理根只可能是,.

下面用综合除法来检验：

这说明是的根。

同理可知：是的根。

经综合除法检验得知的有理根为和。

[参考文献]

1.周仲旺《整系数多项式有理根的一个新求》[J]（《数学的实践和认识》2000.5(3)：339-341）

2.李庆淮《整系数多项式有理根检验范围的压缩》[J]（《数学通报》1998.6(3)：40-41）

3.邓 勇《整系数多项式有理根检验法的简化》[J]（《四川文理学院学报》2007.17(2)：7-10）

4.杨继明《关于整系数多项式有理根的求法》[J]（《抚州师专学报》1994.9(3)：231-235）

5.朱玉扬《整系数多项式有理根一个新求法的再探讨》[J]（《数学的实践与认识》2005.7(5)：229-232）

6.林国泰《初等代数研究教程》[M]（广州：暨南大学出版社 2001）

（作者单位：郑州大学数学系 黄淮学院数学系）