“有关面积客观性问题 ”的几种解题方法

近年来，全国各地中考卷中频频出现“面积问题”的试题，成为中考数学卷中的一个亮点，尤其是有关“面积问题”中的选择、填空等客观性题，直接求解，计算繁杂，甚至无法求解，应采用一定的技巧，运用正确的方法，巧算面积，化难为易，既能得出正确答案，又能节省答卷时间，可达到事半功倍之效果.下面，本人就以几个典型的试题为例，谈谈“有关面积客观性问题 ”的几种解题方法.

一、割补法

例1 如图1，以BC为直径，在半径为2，圆心角为 的扇形内作半圆，交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）

(A) π-1(B) π-2

(C) π 2 (D) 1 2π-2

解析 ：观察图形，可以适当进行“割”与“补”，从而组合成便于计算的几何图形，根据此图的条件，只要把弓形CD与弓形BD互换，即把弓形CD“割”下来“补”到弓形BD上，则阴影部分的面积就等于扇形ABC的面积减去ADC的面积，故选(A).

二、平移法

例2 下面是两位同学关于配有如图2的一道题目的争论：甲：“这道题不好算，给的条件也太少了！”乙：“为什么这么说？”甲：“你看，题目只告诉我们AB的长度等于24，却要求出阴影部分的面积！事实上我连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢.”乙：“那，不过AB可是小半圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”甲：“那也不顶用，我看一定是出题人把什么条件给遗漏啦！”请问，真是甲说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积来吗？

解析 ：只要将小半圆向左平移至大、小半圆圆心重合的特殊位置时，已知条件就能充分利用，阴影部分的面积就能用整体思想解决.

解： 甲说的不对，根据现有条件能求出阴影部分的面积，如图3，连结OC、OB，则OCAB，CB=12，

所以S阴影=S大半圆-S小半圆=

π•OB2-π•OC2 2

=π•BC2 2=72π.

三、旋转法

例3 如图4，已知正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，A点坐标为（2，1），分别以A、B为圆心的圆与x轴相切，则图中两个阴影部分面积的和为 .

解析 ：根据图中两圆关于点O成中心对称的特征，以点O为旋转中心将其中一圆旋转到另一圆上，两个不规则的阴影部分刚好构成一个圆，很快就得两个阴影部分面积的和为π.

四、翻折法

例4 如图5，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C、E、O分别在OA、OB、弧AB上，过点A作AFED交ED的延长线于点F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分面积为 .

解析 ：求图形的面积要注意观察图形的结构，此题的特征是I区域与II区域关于直线OD成轴对称，只要把I区域沿直线OD翻折到II区域，问题就转化为求矩形ACDF的面积.

解： 因为OC=1，所以OD=OA= 2，

所以

S阴影=S矩形ABCD=AC•DC=

（2-1)×1=2-1.

五、比例法

例5 如图6，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知AOB和BOC的面积，分别为25 cm2和35 cm2，那么DOC的面积是 cm2.

解析 ：在三角形中，在高相等的情况下，两个三角形的面积比等于底的比，利用这个等比关系就可以便捷地求出DOC的面积.

解 ：

SAOD

=SBOC=35 cm2

SAOD SABO

=DO BO

=SDOC

SBOC,

求得

SDOC

=49 cm2.

六、规律法

例6 将n个边长都为1 cm的正方形按如图7所示的方法摆放，点

A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）

(A) 1 4cm2(B) n 4

cm2

(C) n-1 4 cm2 (D)

(1 4)n cm2

解析 ：此题可先研究两个正方形重叠部分的面积，根据题意可知，点

A1、A2、…、An分别是正方形的中心，所以

A2与A1重叠部分为A1的面积的四分之一，以此类推.若两个正方形的重叠面积为1个正方形面积的

1 4cm2，则三个正方形的重叠面积为2个

1 4cm2，四个正方形的重叠面积为3个

1 4 cm2，于是从一般到特殊的转化，然后再从特殊到一般，得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为

n-1 4 cm2，故选(C).

七、实验法

例7 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC，为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，如图8，在不远处向圈内掷石子，且记录如下，则封闭图形ABC的面积是平方米.

掷石子次数石子落在的区域 50次 150次 300次

石子落在O内（含O上）次数 14 43 93

石子落在阴影内的次数 19 85 186

解析 ：不规则的封闭图形ABC的面积难以用常规方法解决，但根据小明游戏实验的启发，此类问题可以巧妙地转化为统计中的概率问题，因为经过较多次数的实验后发现：实验中，石子落在O内（含O上）的概率约为31%，石子落在封闭图形ABC的概率约为93%，从而推出封闭图形ABC的面积约为O面积π的3倍，约

3π平方米.

八、数形结合法

例8 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图9）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= .

解析 ：四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，可设它们的边长分别为a、b、c、d，不难证出ABC≌BDE，由直角三角形全等，再根据勾股定理，可得：

a2+b2=1

b2+c2=2,

c2+d2=3.

解得：a2+b2+ c2+d2=4，即S1+S2+S3+S4=4.

“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系.我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到“形帮数”的目的;同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的.对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.