例析推理证明问题的解决

高考来源于教材而又不拘泥于教材,这是高考命题的一个指导思想.纵观近几年的各地高考试题,我们不难发现,确实有很多教材中的题目与高考题有着“千丝万缕”的联系.下面就“推理与证明”这一部分略举几例,以飨读者.

例1 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝

1 3.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

( )

(A)4(B) 6(C) 12(D)10

解析 :结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞6次即可.故选(B).

例2 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径

d的一个近似公式d≈3[]16 9V. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )

(A) d=3[]16 9V (B) d≈3[]2V

(C) d≈3[]300 157V

〖DW〗(D) d≈3[]21 11V

解析 :

由V=4 3π(d 2)3,得d=

3[]6V π.设选项中常数为

a b,则π=

6b a.(A)中代入得π=

6×9 16=3.375,(B)中代入得π=6×1 2

=3,(C)中代入得π=6×157 300

=3.14,(D)中代入得π=

6×11 21=3.142857,由于(D)中值最接近π的真实值，故选(D).

例3 观察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4 +b4=7,a5+b5=11,…则a10+b10=( )

(A) 28(B) 76(C) 123 (D) 199

解析 :等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项的和等于后面的项，即

an+an+1=an+2，所以可推出a10=123，选(C).

命题立意 :本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式.

例4 设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前

N 2和后N 2个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段N 2个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段

N 2i个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.

（1）当N=16时，x7位于P2中的第个位置;

（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第个位置.

解析 :（1）当N=16时,

P0=x1x2x3x4x5x6…x16

,可设为(1,2,3,4,5,6,…,16),

P1=x1x3x5x7…x15x2x4x6…x16,即为

(1,3,5,7,9,…,15,2,4,6,8,…,16),

P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6…x16,即

(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,…,16), x7位于P2中的第6个位置.

（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第3×2n-4+11个位置.

点评 :本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.

需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.

例5 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则

（Ⅰ）4位回文数有个；

（Ⅱ） 2n+1(n∈

N*)位回文数有个．

解析: （Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有

9×10=90种.

答案：90.

（Ⅱ）解法1：由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为9×10n.

解法2：可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数时可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,…,99”，因此四位数的回文数有90个.按此规律推导S2n=10S2n-2,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这10个数，因此S2n+1=10S2n,则答案为

9×10n.