物理课程中矢量与微积分

摘要：大学物理是我国大学工科专业的一门基础课，由于矢量与微积分的引入，使大学物理在中学物理的基础上提高了一个层次。本文针对大学物理学习中矢量与微积分的掌握与应用这一知识重点和难点进行探讨，给出了矢量与微积分在物理学中的特点及其关键问题的解决方法。

关键词：大学物理；矢量；微积分

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）42-0153-02

一、引言

中学物理与大学物理的最大的区别之一就是大学物理中引入了矢量与微积分。矢量与微积分不仅仅是数学上的提高，更重要的是拓宽了物理的方法和认识，是大学物理学习中的重点和难点。因此，掌握好矢量和微积分在物理中的应用，是学好大学物理的基本前提。本文就这个问题提出自己的见解。

二、矢量的概念与作用

矢量是既有大小又有方向的量。在物理学中很多物理量（如速度、力矩、电场强度等）均是具有大小和方向的量，因此这些物理量都是用矢量来表示。自然，这些物理量不论从定义还是从计算都离不开矢量的运算。矢量的运算有加、减、点乘和叉乘。

两个矢量的点乘和叉乘在表达形式上虽然只是一个“·”和“×”的差异，但是两者有着本质的区别。首先两个矢量点乘的结果是一个标量，而两个矢量的叉乘的结果是一个矢量；其次，乘积的结果在大小上也是不相等的，点乘的大小是一个矢量在另一个矢量上的投影的大小再乘以另一个矢量的大小。而叉乘的大小事一个矢量在垂直另一个矢量方向上的投影再乘以另一个矢量的大小。因此，两者不可混淆。在中学课程中，有左手定则和右手定则，在大学物理中，叉乘的方向判别方法就可以完全取代左右手定则。

对于矢量的加法，我们更关注多个矢量的加法，实际操作中有三角形法则（或者叫多边形法则）和直角坐标法。三角形法则是将多个矢量的头尾相连，其结果是第一个矢量的尾部和最后一个矢量的头部相连所得到的矢量就是多个矢量相加的合矢量（见图一）。

直角坐标法是基于一个矢量可以合成也可以分解，先将每个矢量都分解到x，y，z三个方向上，然后分别将三个方向上的分量在一起，再合成：

■=A■■+A■■+A■■■=B■■+B■■+B■■

■=■+■=（A■+B■）■+（A■+B■）■+（A■+B■）■

我们知道，积分的本质就是加法，换句话说积分是一种无限多项的连续分布问题的加法，因此，直角坐标法奠定了矢量积分的基础。在数学中微积分的计算都是针对标量进行的，如何进行矢量积分，其基本思路就是将所有的矢量分解到x，y，z三个方向上，再分别在这三个方向上进行标量积分，然后将三个方向的积分结果用矢量合成的方法进行合成，最终得到矢量的积分结果。例如，在电场强度的计算中，可以先将点电荷产生的电场强度分解到x，y，z三个方向上，分别求出电场强度在x，y，z三个方向上的分量，最后通过矢量的合成，得到最终的结果。

三、微积分的思想和方法

微积分是解决连续不均匀问题的基本工具。在实际的问题中，连续而且不均匀是很常规的状态。如何利用微积分有效而且便利地解决问题是物理学中最为关注的方法。微积分的基本思想是先“微”后“积”。我们知道，很多不均匀的物理量分布，当我们将其分割成非常微小的部分时候，在这些微元的区域就变成了均匀分布，进一步的在这些均匀分布的情况下，我们的物理公式就可以直接应用来求解相关的物理量。当我们把这些微元中相关的物理量求解出来后，再通过积分的方法叠加在一起，就得到我们的结果。

在数学上为了保证在任何情况下都满足微元区域内的函数是均匀的，往往强调要将微元无限的小。可是在物理上，我们提出的思想是在满足函数是均匀的条件下，将微元尽可能的大，这样的结果是我们可以将多重积分的问题简化，也就是可以将三重积分变成二重积分，将二重积分变成一重积分。例如，求解均匀圆盘在粗糙桌面上绕中心轴旋转情况下圆盘所受到的摩擦力矩问题，由于摩擦力矩在半径不同的地方不同而半径相同的地方一样，因此选取一个圆环作为微元而不是选择一个点作为微元，可以将二重积分的问题转换为一重积分。

物理中，积分函数中的物理量往往有多个变量，有些与空间相关，有些量表面上看是与空间无关的，比如质量m，电量Q，而一个积分中只能有一个变量才能进行积分，因此物理量的统一是一个关键。在很多物理问题中，哪些看似与空间无关的物理量，往往是在空间进行非均匀分部，因此它们是与空间紧密相关联的，采用下面的变换，可以将这些物理量转换为空间量，从而进行变量统一。

例如，求解细棒的转动惯量时，公式中有r和dm，将dm变换为λdr就可以方便地求解出其转动惯量了。

四、结论

大学物理中矢量与微积分是十分重要的基础，而对于学习本课程的学生而言，对这个问题的掌握是比较困难的，因此本文从自己多年教授的课程中提炼出相关的内容，希望能对学子们有所帮助。

参考文献：

[1]（美）海彻特（Hecht.E.）.物理：以微积分为基础[M].北京：清华大学出版社，2005.

作者简介：荣健（1962-），男，博士，教授/博士生导师，研究方向：空间光电系统及生物医学影像。