遗嘱与数学

1979年9月,少年儿童出版社出版了一本名为《有趣的数学》的刊物,其中有一篇题为“国王的遗嘱”的文章这样写道:传说,古时候有一个国王。国王临终时立下遗嘱:他死后,他的五个儿子可以将国土划分成五块。但是分成的五块国土必须每一块都与其它四块有一条共同的边界线。至于国土的形状和大小在遗嘱中没有具体说明,可由他的五个儿子自己协商解决……。最后提问:老国王的五个儿子最后能不能按照他父亲的遗嘱将国土划成五块呢?

在后面的答案中写道:在我们生活的地面上,要求按照老国王的遗嘱来划分国土,无论如何是办不到的。不信,你可以试一试。原来,那个国王之所以要立下那么一份无法执行的遗嘱,目的就是希望他的儿子不要分裂,大家团结一致,共同治理好国家。

最近,中国少年儿童出版社出版的一套《科学的发现》中有一篇题为“莫尔根的错误”的文章,其中写道:莫尔根从他的学生费雷赘克那里得知四色问题后,便对这个问题进行了研究。他成功地证明了:不可能有五个国家处于这样的位置,其中每一个国家都和其余四个国家相邻。于是,他根据这个证明了的结论断定:任何地图只要四种颜色就够了。

接着,有人根据莫尔根的证明进行了逻辑推理:如果有一张地图上的国家满足了这样的条件――不可能有四个国家处于这样的位置,其中每一个国家都和其余三个国家相邻;那么,就应该断定这张地图,只要三种颜色就够了。

再后面,举出了一个反例,有力地说明了莫尔根的证明是不严谨的,用这种不严谨的推理方法来证明定理是无效的。

其实,国王的遗嘱和莫尔根的结论是一个意思。国王的遗嘱后面的解答没有给出充分理由作答,是做不到呢?还是有意让儿童们去试一试,让他们多动动手,多动动脑,有益于智力的开发。莫尔根教授的结论不予公布,可能是因为莫尔根教授的推理被否定而已。然而,要给出这个答案的充分理由也并不容易。

我们经过30多年的研究认为,任何地图的任一处,区域的多少,形状……都是人为的。如果,人为的至多只能做到四个区域彼此相邻。那么,任何地图只要四种颜色就足够了。这与莫尔根教授的思路是一致的,不同的是莫尔根教授的证明因不够严谨而被举出反例否定了。

根据欧拉定理,结合地图的特点,我们可以建立方程:k2-7k+12=0(详情暂不公布,其中k表示任何地图的任一处,人为的能做到彼此相邻的区域数)。容易看出:任何地图的任一处,人为的至多只能做到四个区域彼此相邻。那么任何地图只要四种颜色就足够了。这样,如果不被否定,我们将困扰着人们一百五十多年的四色定理给出书面证明。