谈初中教材中的数学思想

在新课标要求下“出活题，考能力”是中考命题的方向。体现数学思想方法、重视数学能力的好题在中考试卷上比比皆是。数学思维和能力的培养已经引起广大中学数学教师的极大关注，它使我们认识到“应该重视数学思想方法的教学”的必要性和紧迫性。

数学思想是指对数学的基本观点，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。“数学教学内容显现表征为数学概念、数学命题，同时隐藏各种思维方式，即数学思想”。初中教材同样蕴藏着各种数学思想。

1　分类思想

分类思想是自然科学和社会科学中的基本逻辑方法。数学中的分类是依据数学对象本质属性的共同点和不同点，将数学对象区分为具有一定从属关系的不同种类。学生掌握分类思想有助于提高其理解知识、整理知识和独立获取知识的能力，完善知识结构，形成严密的数学知识网络。算法中的许多概念、算则及算法构造中蕴涵着分类思想，如有理数的加减法则等知识中有分类思想，还如解决绝对值符号、根式化简、线段长度计算、解决方案等问题时，若不分类就会无从着手，或顾此失彼，导致错误。

有理数的加法法则的分类思想

问题解决方案中的分类思想

例：某校三年级五班班主任带领该班学生去东山旅游，甲旅行社说：“如果班主任买全票，则某余学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的6价优惠”，若全票为每张240元。

问：就学生数讨论哪一旅行社更合算?

解：设学生数为x人

当甲、乙旅行社费用一样时即240+0.5×240x=0.6×240(x+1)

解得x=4(人)

当甲旅行社费用大于乙旅行社费用时

即240+0 5×240x＞0.6×240(x+1)解得x＞4(人)

当甲旅行社费用小于乙旅行社赞用时

即240+0.5×240x＜0.6×240(x+1)解得x＜4(人)

答：当x=4(人)时甲、乙旅行社费用一样

当x＞4(人)时甲旅行社费用大于乙旅行社费用时，即乙旅行社合算。

当x＜4(人)时甲旅行社费用小于乙旅行社费用时，即乙旅行社合算。

1.2　化归思想。化归思想是根据主体已有的知识经验，通过观察、联想、类比等手段把问题进行变换、转化，直到化成已经解决或容易解决的问题的思想。即是以变化、运动、发展以及事物问相互联系的制约的观点去看问题，善于对要解决的问题进行变形，具备了这种转化意识就化繁为简，化难为易、化隐为显、化一般为特殊、化具体为抽象。有的算法将复杂的事物分解成小的步骤，一个问题一时解决不了，就分成几个小问题，一个个解决。例如，算法中解方程化高次为低次，化多元为一元；运算中的加减法转化、乘除法转化；还有数形转化、构造方程等都是化归思想的具体运用。

1.3　演绎推理思想。演绎推理就是从一般的特殊的推理，三段论被认为是最典型的演绎推理。如乔治-波利亚在《怎样解题》一书，他认为：“在我们的思维、口常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就，无不充满了合情推理…但合情推理也可达到数学精确的水平，所以各种合情推理包括猜想类比等在发现解答方面都可能起作用，我们不应当忽视任何一种。”在《数学与猜想》第一卷中，波利亚指出：“不论是初等数学、高等数学的发现，或者在任何的学科的发现，恐怕都不能没有这种过程，特别是不能没有合情推理。”《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》在其前言部分强调“通过数学课程的学习发展学生的数感……应用意识与推理能力”。《标准》在总体目标之一“数学思考”，并指出：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地清晰地阐述自己的观点。”算法教材中的演绎推理处处可见。

1.4　函数与方程思想。函数关系是指某个变化过程中两个变量具有某种对应关系，或者说是一个变量到另一个变量的一种一个映射思想。方程是已知量和未知量构成的矛盾的统一体，是变量与变量的互相制约条件，它反映了已知量和未知量之间的内在联系。它是从已知探索未知的桥梁。函数与方程的思想是解决某些数学问题时，构造适当的函数的方程，把问题转化为研究辅助数与辅助方程性质的思想。在初中数学计算过程中，函数与方程是有效地处理信息、构造算法结构、表示算法过程的有力工具。

例如：某公司到果园某地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园某地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案，甲方案：每千9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费用5000元。

(1)分别写出该公司两种购买方案的付款(元)与所购买的水果质量(千克)之间的函数关第式，并写出自变量的取值范围。

(2)依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少?并说明理由。

1.5　数形结合。数形结合的思想就是通过数形问的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一。“数以形而自观，形以数而入微。”这是我国数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述，在“数与代数”的教学中，教师应强调数与形的结合，让学生建立由数想到形、由形想到数的思想。这样可以加深生学对“数与代数”的理解和认识，如利用图形理解完全平方公式、平方差公式。利用函数图像理解函数的变化趋势等都是培养学生数形结合思想的极好的方法。“概率”是课程中新增的内容，其抽象性使它成为教学的难点，在计算简单事件的概率时采用画树状图的方法，数形结合，能收到化难为易的效果。

例题：在数轴上表示出的位置。

分析：由联系直角三角形的勾股定理，所以，在数轴，r构造一个斜边为2，一直角边为1的直角三角形，那么，另一直角边长是。

例题：一布袋中放有黄、白两种颜色的球，其中一个黄球，两个白球。它们除颜色外其它都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球，求两次都摸到白球的概率。

分析：树状图为：

所有机会均等的结果有9个，其中的4个(白・白)、(白・白)、(白・白)、(白・白)是我们关注的结果，两次出现白球的概率P=4/9

1.6　概率统计思想。义务教育阶段概率统计的主要内容：从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据，理解平均数、中位数、众数、方差、标准差、频率分布等统计量；通过事例，体会用样本估计总体的思想；简单事件的概率和估计概率的算法，以概率统计知识为工具，以便更好地整理、分析和展示数据。培养学生从不确定(或统计)的角度来观察世界的数学内容，让学生了解可能性是普遍的，有助于他们理解数学、理解社会、适应生活。

1.请根据上表信息，比较两个水果店1至6月份的销售的稳定性。

2.请根据上表信息，采用合理的统计量，给甲、乙商店在以后进货时一些建议。

“数学的精神和本质在于它的思想和方法”。正是基于这种指导思想，在数学教学中要特别注意突出基本的数学思想和方法的教学。基本的数学思想和方法是人人能懂，处处有用的，这就是新课程标准倡导的“人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学、不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念。