续谈人教版教材中“两个习题”的问题

自2013年开始，张奠宙教授就现行小学数学教材提出了一些评论与建议并连续在本刊发表，其中的科学性问题一直是其非常关注和重视的，他认为进入新世纪以来，课程改革的幅度比较大，改革的重点放在了以“自主、探究、合作”的教学方法改革上，对于在教学内容上如何坚持科学性的处理上，不同程度地有所放松。因此，如何使得小学数学教材具有高度的科学性，他提出需要做到以下五点：1. 必须坚决杜绝错误；2. 保持数学的精确性特点；3. 把教材的重点放在解释数学的本质上；4. 数学的科学性，需要用数学思想方法加以体现；5. 要做到与时俱进，不断变化。

在张奠宙教授的引领下，这两年也不断有作者参与到教材科学性的探讨和争论中来，并引起了业界的高度关注。近期，戎松魁老师就人教版教材中的“两个习题”提出了质疑并作了深入分析，安徽蚌埠禹会区教体局教研室朱学尧老师在读完此文后也提出了自己的思考，对于其中的观点，你是否认同呢？本刊欢迎广大教师参与争鸣，各抒己见，并就教材科学性问题继续展开讨论。

《教学月刊・小学版（数学）》2015年第9期刊载了杭州师范大学教育学院戎老师的《关于人教版教材中两个习题的探讨》（以下简称《关》文）。作为一个高等院校的教授，常在《教学月刊》上发表如此接地气的文章，能提供丰富鲜活的教学案例，提供给读者分享和借鉴，令笔者佩服和敬重。仔细品读了《关》文，对戎老师所提及的“两个习题”的问题，引起了我的思考和质疑。

戎老师在《关》文中，提出了人教版教材六年级数学有“两个习题”的问题：一是习题一“参赛作品共有125幅，一等奖6幅，二等奖占参赛作品的16%，三等奖的数量比二等奖的数量多4%。提出用百分数解决的问题，并进行解答”。戎老师针对这个习题中的数据提出了两点意见：一是题中给的数据不符合现实生活。如通过计算得出三等奖作品是20.8幅，戎老师认为：“作品应当是整数篇，不可能是20.8幅，可见这个习题出了问题。”同时，戎老师认为：“一般说来，举办一次书法作品或美术作品比赛，在获奖数量的分配上，三等奖的数量不可能只比二等奖多4%，需要将4%改成80%或更大一点的百分数”，意思是说，三等奖作品的数量不能与二等奖作品太接近了。

对戎教授所提出的两点意见，笔者不敢苟同。

其一，笔者不同意文中所说的，通过列算式：20×（1+4%），计算出三等奖作品数量是个小数，就因此得出习题给出的数据有问题的结论。因为，首先百分数的意义是表示一个数与另一个数的百分比，这个百分比是通过计算的取舍得出来的，因此，百分号前面的数可以是小数，也可以是大于100的数，这就更体现了百分数（百分比）的优势。学生在学习“百分数”这个单元时，已经接触了许多与生活实际不相符的这样的“特殊数”。如该习题中给出“二等奖作品占参赛作品总数的16%”，通过计算得出二等奖作品数是20幅，是个整数，但这个整数的得出取决于125幅和16%这两个数据。若把作品的总数125幅换成140幅，或把16%换成17%，通过计算，得出二等奖作品数均不是一个整数。这里的关键原因是评选过程中是先定出一个百分率，还是由先根据评出的作品数量，再计算出这个百分率的。如把参赛作品总数换成140幅，根据上面习题给出的一等奖6幅，算出百分率约是4.3%，通过这个百分率再来算出一等奖的数量，便得不到一个整数了。同时，笔者以为，在现实评选过程中，一般都是先根据参赛作品的总数，来确定每个等次的数量，即使是先给出一个百分率，但在计算具体数量时，若得不到一个整数，也会采取适当“取整”的方法。比如，通过及格率算出班级及格人数，这个人数基本上就不是一个整数了。

其二，戎老师认为，现实生活中三等奖的数量一般要比二等奖数量多。笔者以为，这要取决于评选的方式。如评前可以事先定好各个奖项的数量，也可根据评委的打分，最终确定每个奖次的人数。如可规定90分以上的为一等奖；90到80分的为二等奖；80到70分的为三等奖等。然后，各个评委根据每幅作品的质量打出自己的分数，然后算出平均分，确定各个奖项。这样，若根据作品的质量，来确定等次，就会出现三等奖作品与二等奖数量接近，这可能是由于二等奖与三等奖作品的质量或三等奖与下一个奖的质量没有明显的差距，导致多数评委把三等奖作品放在二等奖，或把三等奖作品放在下一个奖项上，这样，就会影响三等奖作品的数量了。但这必定也是不争的事实，更是一种评选的方式，不是数学要研究的问题。数学基于生活但又高于生活。

二是习题二：“甲、乙两个足球队之间近期的5场比赛成绩如下表。如果两个队现在进行一场比赛，请预测一下哪个队获胜可能性大。为什么？”

戎老师针对2007年版《教师教学用书》第165页给出的答案：“从两队的历史战绩来看，两队获胜的可能性都是二分之一。但仔细观察可以发现：在最近的两场比赛中均是乙队获胜，说明最近乙队的状态好于甲队，由此可以预测：乙队获胜的可能性稍大一些。这种判断也有一定道理。”戎老师说：“两个队获胜的可能性都是二分之一是错误的”“乙队获胜的可能性稍大一些也是不完整的”，于是得出“像这样的习题不宜作为小学生的练习的”。

新课标在小学第二阶段适当安排了发展学生数据“统计观念”和“数据分析”能力的内容，以突出统计与概率的独特的思维方式。同时，课标在这一领域中，提出了 “两个”了解：了解在现实生活中，有许多问题应当先调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含的信息；了解对于同样的数据可以有许多分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。

基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的要求，笔者以为，配套《教学用书》第165页给出的教学答案，对我们教师的教学有一定的指导性，是符合这一领域教学内容要求的。如从表格中给出的数据（信息）可以看出：其一，若从两队近期5场比赛进球数量来分析，学生根据甲队进了8个球，乙队只进7个球，因此，推测出甲队获胜可能性较大些，也是有道理的；若从最近的两场球来分析，甲队均输，因此推断出乙队获胜可能性大一些，用发展的眼光来考虑问题，更是一种好的分析问题的方法；若从两队历史战绩上看，两队胜负次数持平，从而推测出下一场比赛两队获胜的可能性均是二分之一，也是合情合理的预测。这样分析下去，此题应该有不同的结果（答案）。在《关》中，不应该提出“此题果真有这样三个答案？”的质疑。数据分析的方法是多种多样的，不同方法之间是没有对错之分的，只有好坏之别。统计本身就是通过数据来进行的一种分析和推断，以此来感受其随机性。在不同版本的教材中，相配套的教学用书，给出练习题中有关评价的建议，均是开放的，没有一个固定的答案。有的教学用书对相应的练习题还指明：只要学生能从数据分析的角度，来做出一种推测和判断就可以了的说明和要求。

再回到《关》文中，文中对《教学用书》中“两队获胜的可能性差不多”提出这样的质疑：“这里并没有回答哪一队获胜可能性大，而是使用了‘差不多’这一模糊的概念来给出答案。”对此，笔者以为，通过表格中给出的信息，也很难推断出哪一队获胜的可能性大一些。分析的角度不同，就会有不同的结果，这就是数据分析的特点。对《教学用书》给出的“三个答案”，我们不能独立地来看待，应该是基于学生什么样一种分析角度来得出这样的推测的。也正如《关》文所说：“但不能把数据分析的结果割裂开来当作该题的三个答案。”

总之，预测“下一场比赛哪个队获胜可能性大”，是不需要给出一个或甲、或乙这样一个唯一的结果的。也如文中所说：“足球比赛的情况比较复杂，足球场上的情况也可以说瞬息万变。”即使两个队的实力有一定的差距，那也要看“运气”如何了。

以上的浅见，不妥之处，敬请戎老师和编者多指正！

（安徽省蚌埠市禹会区教体局教研室 233000 ）