金融时间序列多分辨率实证研究的EMD方法

摘要：针对小波变换的不足之处，运用EMD方法对沪深300指数日收益率时序进行多时间尺度分解，发现其波动存在准2日、准4～5日、准15日、准28日、准70日、准140～190日及准240日等波动周期，并分析了各分量的趋势变化。结果表明，EMD作为一种全新的非线性、非平稳信号多分辨率处理方法，可以更精确地提取金融时序中不同波动周期的分量，在股市等金融系统变量的多时间尺度分析及其建模、预测中具有广阔的应用前景。

关键词：EMD；沪深300指数；日收益率；多时间尺度

中图分类号：F830文献标志码：A文章编号:1673-291X(2009)06-0061-03

引言

股票市场是涉及金融、经济、政治、社会以及股民心理等诸多影响因素的复杂的动力学系统，其变化过程具有非线性、混沌性、长期记忆性等特点[1～2]。Peters等[3]指出金融市场，包括股票市场，是由不同投资时间水平的交易者组成，如短期、中期和长期交易者等。

一、EMD方法的引入

近年来，小波变换（WaveletTransformation，WT）理论在股票市场系统变量的多时间尺度分析与建模中取得了丰富的成果[4-5]。小波变换在时域和频域都具有良好的多分辨率分析能力，被誉为数学显微镜。但小波变换实质上是一种窗口可调的傅立叶变换，其小波窗内的信号必须是平稳的，因而没有从根本上摆脱傅立叶分析的局限，小波变换虽然能够在频域和时域内同时得到较高的分辨率，但仍然存在一定的限制，这种限制通常会造成很多虚假的谐波，且小波基函数的选择对小波分解结果有显著的影响[6]。针对小波变换的不足，1998年，Huang等人提出了一种全新的多分辨率信号分析方法―经验模态分解[7]（EmpiricalModeDecomposition，EMD）。EMD是基于信号局部特征时间尺度，从原信号中提取本征模态函数（IntrinsicModeFunction，IMF）。在线性框架下基于EMD得到的Hilbert谱与小波谱具有相同的表现特性，而Hilbert谱在频域和时域内的分辨率都远高于小波谱，依此得到的分析结果可以更准确地反映系统原有的物理特性。由于EMD方法比小波变换有更强的局部表现能力，所以在处理非线性、非平稳信号时，EMD方法是一种更有效的方法[8]，而金融时间序列（如股价、股价指数、收益率等）就是一类典型的非线性、非平稳时间序列。

二、EMD的基本理论和方法

EMD方法中的本征模态函数（IMF）要满足两个条件：（1）在整个数据范围内，极值点和过零点的数量必须相等或至多相差1；（2）在任何点处，所有极大值点形成的上包络线和所有极值点形成的下包络线的平均值始终为零。EMD分解基于如下前提：（1）被分解的信号至少有两个极值点：一个极大值点和一个极小值点；（2）局部特征时间尺度定义为信号中两临近极大值点或极小值点的时间间隔；（3）若信号中没有极值点，但包含一些拐点，可以先对信号进行若干次微分，使极值点显露出来，最后对分解得到的分量进行积分得到最后结果。

EMD分解方法的基本思想是：加入待分解数据序列的极大值或极小值数目比上跨零点（或下跨零点）的数目多2个或2个以上，则该数据序列就需要进行平稳化处理。首先，利用三次样条函数把序列x（t）的局部极大值和局部极小值点分别拟合成x（t）的上包络线和下包络线，然后计算两包络线的均值m。再从原数据序列x（t）减去m，即可得到一个移除低频的新数据序列：h=x（t）-m（1）

通常，h并不是IMF分量，为此需要对h重复以上处理过程以进行k次筛选，直到所得到的平均包络趋于零为止，此时所得数据为：h-h-m（2）

式中，h为第k次筛选所得的数据，h为第k-1次筛选所得的数据。利用限制标准差SD的值来判断每次筛选结果是否为IMF分量，SD定义为：

SD=（3）

其中T为数据序列的长度。

EMD分解时的限制标准差SD的值一般取在0.2～0.3之间，即满足0.2

当h满足SD的要求时，令c=h即可得到信号x（t）的第一个IMF分量，它代表了原始信号序列中最高频率的组成成分。从原始数据序列x（t）中减去第一个IMF分量c，就得到一个移除高频组分的差值数据序列：r-x（t）-c。若r中仍包含x（t）的较长的局部特征时间尺度信息，可将r作为待分解信号，再重复式（1）～式（3）的过程，直至所剩信号r中的信息对所研究的内容意义很小或已是单调函数时停止分解运算，此时的r代表原始数据序列的趋势或均值。至此，便得到了信号x（t）的一系列IMF分量：c，c，…，c且r-c=r，r-c=r，…，r-c=r。原始数据序列即可由这些IMF分量及一个均值或趋势项表示：x（t）=c+r（4）

由于每一个IMF分量是代表一组特征尺度（频率）的数据序列，因此EMD分解实际上就把原始数据序列分解为各种不同特征波动的叠加，每一个IMF分量既可以是线性的也可以是非线性的，且每个IMF分量都有实际的物理背景相对应。

三、日收益率时序的EMD分解

（一）基本资料

沪深300指数于2007年4月8日正式，是由上海和深圳证券市场中选取300只A股作为样本，其中沪市有179只，深市121只。样本选择标准为规模大、流动性好的股票。沪深300指数样本覆盖了沪深市场六成左右的市值,具有良好的市场代表性，能够反映沪深市场股价变动情况和主流投资动向。本文分析选用的基础数据为沪深300指数的每日收盘指数时序，样本区间为2005年4月8日至2007年9月6日日，共计589个交易日数据，如图1所示。

指数日收益率R定义为：R=，

其中P为第t+1个交易日的收盘指数，P为第t个交易日的收盘指数，上述收盘指数时序对应的日收益率时序如图2所示。

（二）日收益率时序的EMD分解

对图2所示的日收益率时序进行EMD分解，取SD的值为0.25，并采用边界延拓法来处理分解时的边界问题[9]，结果见图3至图10，其中分别包含有7个IMF分量（图3～图9）和一个趋势项Res分量（图10）。从中，可以得出以下重要结论：（1）日收益率时序可以分解为7个具有不同波动周期的分量和1个趋势分量，反映了沪深300指数日收益率变化的复杂的多时间尺度性、多层次性；（2）对日收益率时序来说，第一个本征模态函数IMF1是振幅最大，频率最高，波长最短的一个波动，依次下去的其他本征模态函数振幅逐渐减小，频率逐渐降低，波长逐渐变大；（3）IMF1分量以准2个交易日（以下简称日）为波动的主要周期，次要波动周期有准3日、准4日和准5日等，且越长的周期，其出现次数越少；IMF2分量的波动周期为准4～5日；IMF3分量的波动周期主要以准15日为主；IMF4分量的波动周期以准28日波动周期为主，以准40日波动周期为辅；IMF5分量以准70日波动周期为主，嵌套着准80日波动周期；IMF6的波动周期为准140～190日；IMF7分量波动周期为准240日；Res分量反映的是日收益率时序的整体变化趋势，自2005年4月初至2007年9月初，沪深300指数所反映的中国股市的整体收益率呈上升趋势，上升幅度达19.19％，这与同期中国股市的牛市状态是相符合的。（4）从图3～图6可以看出，IMF1～IMF4分量的波动幅度具有较明显的“正的持续性”，即具有长期记忆性，反映在日收益率序列波动幅度的变化上，用平均的观点来看，表明IMF1分量过去的一个较大幅度的波动趋势意味着将来的一个较大幅度的波动趋势，过去的一个较小幅度的波动趋势意味着将来的一个较小幅度的波动趋势，除非发生改变这种趋势的关键事件，同时也暗示IMF1波动分量序列表现出一定的非高斯性（即非随机性）。已有相关研究证实了我国股市收益率存在长期记忆性[10]。

结语

经验模态分解（EmpiricalModeDecomposition，EMD）作为一种全新的信号分析理论，是近年来对以傅立叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破，比小波变换具有更强的局部特性和适应性。本文运用EMD方法对根据沪深300指数的日收盘指数时序计算得到的其日收益率时序进行了多分辨率（多时间尺度）分解，结果表明其波动分量分别具有准2日、准4～5日、准15日、准28日、准70日、准140～190日、准240日等波动周期，日收益率的长期记忆性主要表现在其短期波动分量（准2日、准4～5日、准15日和准28日等）中，这揭示了中国股市系统变量运动所具有的复杂的多时间尺度性。必须指出的是，股市系统是一个具有很强时变性的动力学系统，本文的结论只是就观测时段内数据计算分析所得。

基于精确的多分辨率分析能力，EMD理论作为一种崭新的非线性、非平稳信号分析理论在金融系统变量时间序列的分析、预测和建模中具有广阔的应用前景。

参考文献：

[1] 李亚静，何跃，朱宏泉.中国股市收益率与波动性长记忆性的实证研究[J].系统工程理论与实践，2003，23，（1）：9-14.

[2] 徐梅，张世英.基于小波变换的长记忆随机波动模型估计研究方法[J].中国管理科学，2006，14，（1）：7-14.

[3] Peters E.E. Fractal market analysis：applying chaos theory to investment and economics[M].New York：John Wiley Sons，1994.

[4] 宿成建，刘星，刘礼培，等.应用小波分析方法研究沪深股市的溢出效应[J].系统工程学报，2004，19，（1）：99-103.

[5] 侯守国，张世英.基于小波分析的股市高频互相关研究[J].中国管理科学，2006，14，（3）：1-6.

[6] Tewfiki.A.H.On the optimal choice of a wavelet for signal representation[J].IEEE Trans Information Theory，1992，（2）：747-765.

[7] Norden,E.H.,Shen,Z.,Long S. R.,et a1.The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-station ary time series analysis[J].Proceedings of the Royal Society A:Mathematical,Physical and Engineering Sciences，1998：454-955.

[8] Huang N.E.A new view of nonlinear water waves-the Hilbert spectrum[J].Ann.Rev.Fluid.Mech.,1999，31（1）：417-457.

[9] 瞿伟廉，程磊.应用径向基函数神经网络处理emd方法中的边界问题[J].华中科技大学学报：城市科学版，2006，23，（4）：1-4.

[10] 施红俊，马玉林，陈伟忠.中国股市长记忆性实证研究[J].同济大学学报:自然科学版，2004，32（3）：416-420.

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