独立学院线性代数中基于数学建模思想的案例教学探索

摘要： 本文结合独立学院学生的学习特点以及线性代数的实践教学经验，努力将学科专业与线性代数理论教学内容相结合，基于数学建模思想的角度探索独立学院线性代数的案例教学的方法，旨在提高学生的创新能力以及分析、解决实际问题的能力。

Abstract： Combined with students study characteristics and practical teaching experience in linear algebra， we makes an effort to combine professional course with teaching content of linear algebra theory， and explores the case teaching of linear algebra in independent college， aiming at improving the students' innovation ability as well as the ability in analyzing and solving actual problem.

关键词： 独立学院；线性代数；案例教学；数学建模

Key words： independent college；linear algebra；case teaching；mathematical modeling

中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）25-0256-02

0 引言

线性代数是独立学院理、工、管专业必修的一门公共基础课程，能够很好地培养学生的逻辑思维能力、解决实际问题能力和创新能力。数学建模能够培养学生运用所学的数学知识解决实际问题的能力。案例教学方法是目前很多高校教学方法中的一种，案例教学就是以与学科专业相关的案例为基础，引导学生掌握案例中的知识，培养学生思考和解决问题的能力。因此，在独立学院线性代数教学改革中，引入案例教学法，基于数学建模思想的角度，将学科专业与线性代数理论教学内容完美相结合是非常有必要的。

下面几个经典案例很好的体现出如何利用线性代数的知识分析和解决实际问题。

1 讲授逆矩阵知识时，可以举信息加密实例

在信息通信中，如何对信息进行保密，往往要对信息进行加密，首先建立数字与26个英文字母之间的对于关系，例如

A B C D E … U V W X Y Z

1 2 3 4 5 … 21 22 23 24 25 26

例如，要传送的信息是“SEND MONEY”，如果按照上面的代码转换，该信息的编码是19，5，14，4，13，15，14，5，

25，如果直接按照上面转换的编码直接传输该信息，这样没有经过加密的信息直接传输出去很容易被别人破译，这样的做法无论是在军事上还是在商业上都是不可取的。破译者会根据一个很长的信息编码中出现频率较高的数值猜出该数字代表的字母。例如上述例子中的编码出现最多的数值是5，则自然能够猜出该数字代表的是字母E。因此，非常有必要对“明文”—“SEND MONEY”进行加密，再把加密后的“密文传输出去，这样就会增加非法用户破译难度，让合法用户轻松解密。我们可以利用逆矩阵的知识实现这个功能，首先选取一个元素均为整数的矩阵并且该矩阵的逆矩阵的元素也均为整数作为密钥矩阵，利用密钥矩阵对明文进行加密，使得非法用户很难对加密后的密文进行破译。例如取A=■，则A-1=■。

因此明文“SEND MONEY”对于的9个编码排成3行3列的矩阵

B=■，

矩阵相乘AB=■■=■

因此对应的明文加密后传输出去的密文编码为“81，88，93，62，76，79，38，32，44。

合法用户可以根据密钥矩阵A的逆矩阵A-1对密文进行解密获得明文

A-1（AB）=■■=■

上述是信息加密的原理，实际应用中的密钥矩阵的阶数非常大，因此其构造也是十分复杂。

2 讲授线性方程组知识时，可以举植物的光合作用实例

在光合作用下，植物可以利用太阳能提高的辐射能，将二氧化碳和水转化为葡萄糖和氧气。该化学反应的方程式为x1CO2+x2H2Ox3O2+x4C6H12O6为平衡该方程式，需要适当选择其中的x1，x2，x3，x4，使得方程式两边的碳、氢和氧原子的数量分别相等。

由于一个二氧化碳分子含有一个碳原子而一个葡萄糖分子含有六个碳原子，因此为平衡方程，须有x1=6x4，类似的，要平衡氧原子需要满足2x1+x2=2x3O2+6x4，氢原子需满足2x1=12x4，将所有未知量移到等式左端，可得到一个齐次线性方程组x1-64x=02x1+x2-2x3-6x4=02x2-12x4=0求得上述方程组，可得x1=x2=x3=6x4。为平衡化学方程式，我们需找到一组解x1，x2，x3，x4，其中每个元均为非负整数。

如果令x4=1，则x1=x2=x3=6，且化学方程式为6CO2+6H2O=6O2+C6H12O6。

3 讲授特征值与特征向量知识时，可以环境保护与工业发展实例

环境保护与工业发展和问题是21世纪各国政府关注的重点问题，为了定量分析工业发展与环境污染的关系，有人提出了如下的工业增长模型：设x0是该地区目前的污染水平（由于土壤、河流、湖泊及大气等污染指数测得），y0是该地区的工业发展水平。以5年为一个发展周期，一个周期后的污染水平和工业发展水平分别记为x1和y1，它们之间的关系是：

x1=■x0-■y0，y1=-■x0+■y0，

写成矩阵形式为x1y1=■x0y0或者？琢1=A？琢0。

其中？琢1=x1y1，？琢0=x0y0为当前水平，A=■。

记x1和y1为第k个周期后的污染水平和工业发展水平，则此增长模型为xk=■xk-1-■yk-1yk=-■xk-1+■yk-1k=1，2，…即xkyk=■■xk-1yk-1或者？琢k=A？琢k-1。

由此模型及目前的水平？琢0，可以预测若干发展周期后的水平：？琢1=A？琢0，？琢2=A？琢1=A2？琢0，…，？琢k=A？琢k-1=Ak？琢0。

如果直接计算A的各次幂，计算非常繁琐。为此先计算A的特征值与特征向量。A的特征多项式为

？姿E-A=■=？姿2-5？姿+6所以得？姿1=2，？姿2=3。

对于特征值？姿1=2，解齐次线性方程组（2E-A）x=0，可得A的属于？姿1=2的一个线性无关的特征向量p1=12。

对于特征值？姿2=3，解齐次线性方程组（3E-A）x=0，可得A的属于？姿2=3的一个线性无关的特征向量p2= 1-1。

如果当前的水平？琢0恰好等于p1，则？琢n=An？琢0=Anp1=？姿■■p■=2n12即xn=2n，yn=2n+1。

它表明，经过n个发展周期后，工业发展已达到一个相当高的水平（2n+1），但其中一半被污染（2n）所抵消，造成资源的严重浪费。

如果当前的水平？琢0=1119，则不能直接应用上述方法分析，此时，？琢0=10p1+p2。于是？琢n=An？琢0=10Anp1+Anp2=10×2np1+3np2=10×2n+3n10×2n+1-3n。

特别地，当n=4，污染水平为x4=241，工业发展水平为y4=239，污染水平已超过工业发展，经济将出现负增长。

由上面的分析可以看出，尽管A的特征向量 p2没有实际意义（因p2中含负分量），但任意具有意义的向量？琢0都可以表示为p1，p2的线性组合，从而在分析过程中，仍具有重要意义。

线性代数在工程技术、管理科学等各学科的应用非常广泛，因此，授课教师要加强自身专业学习，了解线性代数知识与各学科之间的实际联系，搜集相关实际问题为案例，在课堂教学中引入设计好的实例案例，加深学生对所学线性代数知识的理解以及实际应用，激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力。

参考文献：

[1]莫京兰，赵新暖.独立学院线性代数教学改革的探索[J].价值工程，2010，6（29）：213-214.

[2]刘三杨，马建荣，杨国平.线性代数第（第二版）[M].北京：高等教育出版社.

[3]陈骑兵.独立学院经济管理类专业线性代数课程教学改革的探索——以电子科技大学成都学院经济与管理工程系为例[J]. 价值工程，2011（16）.