几何画板解决轨迹问题的探究

摘 要：随着时代的发展，传统教学的一些弊端不断显现出来，其描述性、静态性等特点制约着学生思维的发展。在2011年实行的《数学课程标准》中新增了几何直观作为核心概念，其本质是一种通过图形所展开的想象能力。在教材的“信息技术应用”模块着重应用几何画板来解决圆锥曲线问题，几何画板的应用解决了传统教学的一些不足，其直观性、动态性以及可操作性等特点赋予静态教学以生动性。本文通过从传统教学和利用几何画板教学两个角度来剖析一道高考真题，从而阐述几何画板在数学教学中的应用。

关键词：轨迹问题；几何直观；几何画板

数学是一门抽象的学科，根据学生思维水平以及认知水平的不同会在头脑中建构出不同的数学模型，尤其对一些晦涩难懂的数学模型学生在头脑中的很难准确的建立出来时，不利于学生对知识的吸收。2011年实行的数学新课程标准中将“几何直观”新增为十个核心概念之一，主要指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得清晰、形象化。

一、问题的提出

轨迹问题作为教学重点，其动态性、抽象性是教师讲授难点，也是学生吸收的‘重灾区’，光凭教师的描述很难使学生在头脑中建构出准确的数学模型。我们求轨迹方程的常用方法有直接法，定义法，交轨法，几何法，相关点代入法，参数法。方法是抽象的，几何画板可以将抽象的数学模型直观的呈现在学生面前，使学生理解的更加透彻。

二、研究内容

几何画板教学打破了传统教学形式单一，直观性差等缺点，应用几何画板可以将尺规作图无法实现的轨迹图像直观、动态的演示出来，让学生感受到数学“运动中的守恒”。下面以2011年广东卷高考题为例应用几何画板来解决数学中的轨迹问题：

设圆C与两圆（x+5）2+y2=4，（x-5）2+y2=4中的一个内切，另一个外切。

（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；

（2）已知点M（355，455），F（5，0），且P为L上动点，求MP-FP的最大值及此时点P的坐标。

（一）传统教学

在这道题的解题过程中首先利用定义法来判断圆心轨迹L属于哪种曲线，再根据题中所给数据求出相应数值，最终确定圆心轨迹L的方程。对于第二问求线段差的绝对值求最大值问题，利用三角形性质“两边之差小于第三边”确定当M、F、P三点共线时MP-FP有最大值，即MP-FP≤MF=2，仅当PM=λPF（λ>0）时，取“=”。求得直线方程，联立曲线方程，得到P点坐标。

本题第一问应用圆锥曲线定义求解动圆圆心的轨迹方程，判断轨迹L是什么曲线为此题难点。首先通过几何法来确定轨迹的类别，再利用曲线的性质来确定曲线的标准方程。第二问中涉及最大值问题，首先应该找到当P点运动到何处时取得最大值，因此，P点坐标是本题的一个难点。应用传统教学很难将此问题讲解清楚，尤其是当学生对圆锥曲线概念理解不到位或者对求轨迹方程方法掌握不透彻的情况下，更是无从下手，针对此种情况将几何画板引入数学课堂十分必要。

（二）应用几何画板教学

教师利用几何画板将满足条件的圆展示给学生，通过追踪圆心O1，O2，O3，O4可以得到圆心轨迹L的轨迹，将所得曲线直观的演示给学生。其轨迹L图像如右图所示。通过几何画板的演示直观的将圆心轨迹展示在学生面前，引导学生往双曲线定义的方向思考，已知中给出“圆C与两圆一个内切，另一个外切”，圆C是个动圆，教师只用讲授很难让全体学生理解，在教师讲解的时候辅以几何画板，直观的将符合条件的情况展示给学生，为一些困顿的学生理清思路，在头脑中建立清晰的数学模型，从本质上解决了问题。在解决第二问的时候，同学们会对||MP|-|FP||在什么位置取得最大值表示困惑，对于特殊值要考虑特殊位置，教师在讲解该题时辅以几何画板，实现动点P在L上运动，随着点P的运动||MP|-|FP||的值也跟着运动，此时拖动P点在双曲线上任意移动，即可观察||MP|-|FP||的值的变化情况，通过观察||MP|-|FP||值的变化情况即可找到最大值。通过拖动点P学生们会发现在点M、F、P三点共线时||MP|-|FP||有最大值为2。如右图所示。

通过本题将原本抽象、概念化的数学模型直观、具体化的展示在学生面前，使学优生更好的掌握问题，也可以帮助学困生更直观具体的理解问题。

三、比较分析

轨迹问题的传统教学方式是从理论的层次上来讲解，通过圆锥曲线的定义，题目中给出的相关点等相关角度来解题，对轨迹形成的动态呈现无法实现。将几何画板引入教学中，可以得到动圆圆心的运动轨迹，动点在曲线上任意运动，从而将抽象的题目所表达的意思直观的展示在学生面前，帮助学生理解，加深学生对轨迹形成的印象。

在教学过程中，传统教学有着不可替代的重要性，它是在人类发展过程中不断的被改进，逐步被人们所熟知和认可通过老师的讲授可以使学生更好的理解数学知识，掌握重点、难点。但数学是一门抽象的学科，在讲授过程中存在着大量的动态、精确的模型，几何画板的应用可以提供给广大师生一个动态、精确的数学课堂，将静态单一的课堂变得更加的多样化，使数学课堂“动”起来。

四、结论

在教学中适当的辅以几何画板将动点轨迹问题直观化，不但有利于教师的讲解，同时有利于学生的理解与吸收，理清解题思路，找到问题的突破口，最终解决问题。几何画板虽然不能代替学生思考，但是可以帮助学生更好的思考，通过几何画板对一些轨迹形成的呈现，会在学生的头脑中形成几何模型，从问题的表面上升到本质的过程。当再次碰到相关类似问题，可以为学生指明方向，提供解题思路，拓展思维。

参考文献：

[1] 苏强.几何画板教学现状分析与教学模式探讨[J].长春教育学院学报，2012（12）：95―97.

[2] 王雄伟，许少雄.利用几何画板，解答高考难题――《几何画板》辅助高中数学教学案例[J].语数外学习，2013（7）：21.