数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分

[摘　要] 刘徽的“割圆术”是

[关键词] 刘徽;割圆术;无限;可积

《高等数学》[ 1 ] 在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义. 实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想. 另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率（157÷50）. 郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明. [2 ]

1 　刘徽的“割圆术”

我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”. 魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263 年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记———“割圆术”.

“⋯⋯割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣! 觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表. 若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. ”[3 ]

2 　几点注记

在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想. 第二个是无穷小分割思想.

2.1 　数列极限的夹逼准则

刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(squeeze the orem) . 他从圆内接正6 边形开始割圆,设圆面积为s0 ,半径为r ,圆内接正n 边形边长为l n ,周长为l n ,面积为s n ,将边数加倍后,得到圆内接正2 n 边形的边长、周长、面积分别记为: l2 n 、l2 n 、s2 n .

刘徽用“勾股术”得[4 ] :

若知l n ,则可求出圆内接正2 n 边形的面积:

刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”:

s2 n < s0 < s n + 2 ( s2 n - s n ) = s2 n + ( s2 n - s n ) ,

“若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. ”

limn ∞s2 n < s0 < limn ∞( s n + 2 ( s2 n - s n ) ) = limn ∞( s2 n + ( s2 n - s n )).

即在n 趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积.

2.2 　折中的无限分割方法

关于量可分的两种假定,在

2.4 　目的是证明圆面积公式而非求圆周率

刘徽费尽周折,殚精竭虑创立包含着朴素微积分的割圆术,目的只是为证明圆的面积公式,从而他说:此以周、径,为至然之数,非周三径一之率也. 为此他同样使用割圆术中的数据,提出了求圆周率近似值的程序. 于是得到下表:

利用,s2 n < s0 < s n + 2 ( s2 n - s n ) = s2 n + ( s2 n - s n ) ,

得到:314×64/625< s0 < 314×169/625,

由s0 =1/2l r ,得l≈2 s2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.

2.5 hpm 的思想

科学 史上的诸多事实都显示出无穷概念的巨大重要性和深远 影响 . 实数系的逻辑基础在十九世纪末叶才被建立的事实之所以令人惊奇,正是因为人们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的.对无穷的思考并试图理解它和准确地定义它,是对人类智慧的一个挑战. 古希腊以降,无穷的概念就引起了先哲们的注意,但它固有的超越人类有限思维的特征,使得人们对它理解的进展十分缓慢. 希尔伯特曾说过,无穷是一个永恒的谜. 直到19 世纪,柯西和魏尔斯特拉斯给出极限的精确定义为止,人们都无法逾越这一思维中的结症.

因为极限的“ε2”定义,术语抽象且符号陌生,其中的辩证关系不易搞清. 这个概念中内含诸多玄机.它简练外表,隐藏了2000 余年来人类面对无限的困惑和努力. 这个定义包含着“动与静”的辩证法,包含着从有限到无穷的飞跃,包含着纯洁的数学美.

个体的认识 规律 会“重演”数学史的 发展 历程,因此在教学中,学生 自然 会提出的一系列 问题 :既然极限描述性定义简单明白,为什么要搞个“ε2”定义? 它与描述性定义有什么不同? 数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义? 正如r ·柯朗和h ·罗宾所说:“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的,遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚,他们不作充分的准备,而只是把这个定义直接向读者列出,好象作些解释就有损于数学家的身份似的. ”要弄清这些问题,只有翻开数学史,从 哲学 的角度认识极限法,这样不仅能帮助我们搞清极限的概念,也有助于建立正确的数学观念.

极限的精确定义和是微积分的 理论 基石. 但是要在几堂课内讲清楚困扰人类2000 余年极限问题,确实是个难题,hpm 也许是他山之石. 比如通过开辟第二课堂,或在课上,介绍刘徽“割圆术”中的微积分思想,对极限定义的理解将会大有裨益.

[参　考　文　献]

[1 ]同济大学数学教研室. 高等数学(上册,第四版) [m] . 北京:高等 教育 出版社,2000 ,33 - 34.

[2 ]郭书春.