浅谈集合思想与摩根定理的若干应用

摘要：深入对集合基本概念的认识，很容易能够发现集合思想与摩根定理在实践中能解决相当多的难题。本文在结合大量实例的基础上，运用集合思想与摩根定理思想，探究了其在集合、简易逻辑及概率中的应用。

关键词：集合思想；摩根定理；集合；简易逻辑；概率

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）05-0159

集合是高中数学的基本知识，若深入对集合基本概念的认识和理解，可发现集合思想与摩根定理作为工具在实践中对一些棘手的问题能很好地解决，并易于理解。本文主要介绍了运用集合思想与摩根定理思想在集合、简易逻辑及概率中的应用。

一、在集合中的应用

在集合中，摩根定理C1（M∪N）=C1M∩C1N，C1M∪C1N=C1（M∩N），是一个不可或缺的工具，在集合中巧妙利用它能达到事半功倍的效果。

例1. 设集合I={（x，y） x∈R，y∈R}，集合M={（x，y） ■=1}，N={（x，y） y≠x+1}，那么C1（M∪N）=（ ）

A. B. {（2，3）} C. （2，3） D. {（x，y） y=x+1}

分析：本题若从正面入手有一定难度，若利用摩根定理能很快解决并易于理解，由摩根定理得：C1（M∪N）=C1M∩C1N，即只要求出M集合与N集合的补集后取交集即可。

由题设得：C1 N={（x，y） y=x+1} ，故C1（M∪N）=C1M∩C1N={（2，3）}选B。

二、在简易逻辑中的应用

从集合的观点看，建立命题p，q相应集合。p：A={x p（x）}，q：B={x q（x）}，那么，若A B，则p是q的充分条件；若A B且A≠B，则p是q的充分非必要条件；若B A，则p是q的必要条件；若B A且A≠B，则p是q的必要非充分条件；若B=A，则p是q的充要条件；若B A且A B，则p是q的非充分非必要条件；

示意图如下：

1. 寻求两个命题间的逻辑条件

例1. 命题甲：x+y≤1；命题乙：x2+y2≤1，则（ ）

A. 甲是乙的充分非必要条件；

B. 甲是乙的必要非充分条件；

C. 甲是乙的充要条件；

D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

分析： 此题从正面入手较为困难。利用集合关系可以迎刃而解，构造图形可知，甲为如图示阴影部分，乙为单位圆部分：故从集合角度甲 乙且甲≠乙，故选A。

例2. 命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x+y≠5，则（ ）

A. 甲是乙的充分非必要条件；

B. 甲是乙的必要非充分条件；

C. 甲是乙的充要条件；

D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.

分析：这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难。利用集合思想可迎刃而解。为了进行判断，首先需要构造两个集合：甲、乙；判断甲、乙的集合关系即可。显然集合甲 集合乙，故选择B。

2. 判断命题的真假性

例3. 已知p，q为两个简单命题，且命题“p或q”的否命题是真命题，则必有（ ）。

A. p真q真 B. p假 q假 C. p真q假 D. p假q真

由摩根定理积极和思想可知“p或q”的否命题可转化为C1（p∪q）=C1p∩C1q：即 （p∪q）= p∩q为真。故必是 p与 q都真，从而p假且q假，故选B。

从以上两类题型可知利用集合思想处理简易逻辑方便快捷、易于理解、可行性强。

三、在概率中的应用

从集合的观点看：若A B，A发生则B发生；若B A，B发生则A发生；若B=A，则A，B同时发生；若A∩B= ，则事件A与事件B为互斥事件；若A∩B= 且则事件A与事件B为对立事件；（I为全集）；A+B可以理解为发生或发生（A∪B），可以理解为发生且发生（A∩B）；且摩根定理思想的应用不可忽视。

例4. 从3个男生和4个女生中选出3个人参加会议，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

A. 至少有一个男生和全是男生

B. 至少有一个男生和至少有一个女生

C. 恰有一个男生和恰有一个女生

D. 至少有一个男生和全是女生

分析：利用集合思想解决这类题型方便快捷，在A中{至少有一个男生}∩{全是男生}={全是男生}≠ ；排除A；在B中{至少有一个男生}∩{至少有一个女生}={一男两女或两男一女}≠ ，排除B；在D中{至少有一个男生}∩{全是女生}= 并且{至少有一个男生}∪{全是女生}= 全集，故D中两事件对立；可验证C中{恰有一个男生}∩{恰有一个女生}= ，但其并集不是全集，故C符合条件。

例5. 如图在电路上A、B、C表示开关，如果用事件A、B、C分别表示相应的开关闭合，A、B、C独立且A、B、C闭合的概率均为0.6，则通路的概率为多少？

分析：此题易入手，但也易出错，利用集合思想与摩根定理则易于破解，由图可知A，B所在为串联，则该线路通必是A，B两个都通，该线路通记为D通。而线路通则为C或D通（C+D）的概率，故可由摩根定理思想先求出线路不通的概率，即先求发生的概率，用1减去不通的概率即可。由摩根定理得■=■+■，故有：P（D）=P（AB）=P（A）P（B）=0.36；P（■ ■）=P（■）P（■）=0.4×0.4=0.16，故通路的概率为：1-0.16=0.84。可见，集合思想在概率中的应用是不可或缺的。

（作者单位：山西省晋中榆社县第一中学 031800）