金融时间序列多分辨分析的描述性研究

[摘 要] 小波理论近年来已经被广泛应用于金融时间序列分析，然而实践证明想要掌握好该方法并不容易。本文以简单的时间序列为样本，详细地描述了小波分解与重构的全部过程，意在通过详实的步骤，揭示出小波多分辨分析的本质。最后，实际演示了如何运用Matlab小波工具箱对包含600个交易数据的金融时间序列进行多分辨分析。

[关键词] 小波；多分辨分析；描述性研究

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 02. 018

[中图分类号] F830 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2014）02- 0025- 03

0 引 言

对于很多信号，由于它的低频部分能够较好地反映信息变化的一致性，因此通常会更受人们的关注。以人类的声音为例，低频信息蕴含了语义，高频信息表达了语调。此时即使高频信息被剔除，也不会影响人们正常的交流。同理，在金融时间序列分析当中，一些重要的经济规律也被隐藏在月、季等长周期的数据变化当中。

近20年来，小波分析作为一种具有时频特性的序列分析方法，日益被广泛地应用于金融工程研究领域。该理论能够很好地通过尺度、小波函数的伸缩与平移，对非平稳的原始数据按不同的时间刻度进行分解，并自适应地调整时频窗宽，分析数据在各时频的局部细节特征。然而，目前小波分析操作主要通过Matlab的小波工具箱完成。对于很多不熟悉复变函数和小波理论的金融从业人员，拿着软件直接生成的结果，往往不知所措。针对上述问题，为了更好地揭示金融时间序列的多分辨分析过程，本文旨在通过详实的例子，对整个小波分解与重构进行详细的描述性研究，来帮助读者透析其中的原理。

1 离散小波变换的基本原理

离散小波变换是一个对金融时间序列进行不同周期的分解与重构的过程。其中第一步是小波分解，也就是将原始信号乘以特定的低通或高通滤波器，以此实现对原始信号的分解，其中经过低通（尺度）滤波器处理后的信号称为“尺度系数”，它能反映数据变换的长期趋势；经过高通（小波）滤波器处理后的信号称为“小波系数”，它蕴含了信号对长期趋势的偏离。本文利用余弦波和高频噪声构造出一个数量为1 000的原始信号X。该信号通过低通与高通滤波，可以得到数量各为500的小波系数s1与尺度系数d1。具体过程如图1所示。

观察图1可以看到：由于尺度系数s1为原信号在尺度2上的非重叠平均，因此它保留了与原信号相似的形状；小波系数d1则反映了实际信号对每一均值的偏离。人们形象的将这一过程称之为“下抽样”。选取不同的尺度和小波类型可以构造出形式各异的小波分解。例如，图1中的第一层小波分解选取的就是尺度为2的Harr小波。目前常见的小波还有Mexican Hat、Guass等在内的15种。此外，图1中的小波分解还可以继续下去，例如对尺度系数s1的再分解能够得到尺度为22的小波系数d2和尺度系数s2，两者能够在更长周期上反映信号的均值变化和偏离程度。

第二步就是在小波系数与尺度系数的基础上对原始信号进行重构，即将原始信号表示成一个常数向量SJ和J个常数向量 Dj（j=1，…，J）的和：

X=■Dj+SJ （1）

其中，X为原始信号，SJ为第J层光滑，Dj代表第j层小波粗糙。上述过程定义了序列的一个多分辨分析。

2 离散小波变换的数学描述

为了解释小波变换的基本原理，本文采用一个简单的金融资产价格序列f（t）=（2，6，5，11，8，5，2，4）对整个离散小波变换过程进行详细的描述性研究。出于简化的目的，这里采用的是形式最为简单的Harr小波。该小波在（-1，0]和（0，1]的区间上分别取值■和■，在其余区间取值为0。

2.1 离线小波变换的分解

根据f（t）的序列长度和Harr小波滤波器的特点，可以很容易地构造出如下第一层小波分解的尺度滤波器scale1和小波滤波器wave1：

scale1=Φ1，1Φ1，2Φ1，3Φ1，4=■，■，0，0，0，0，0，00，0，■，■，0，0，0，00，0，0，0，■，■，0，00，0，0，0，0，0，■，■

wave1=ψ1，1ψ1，2ψ1，3ψ1，4=■，■，0，0，0，0，0，00，0，■，■，0，0，0，00，0，0，0，■，■，0，00，0，0，0，0，0，■，■

然后将序列f（t）乘以尺度滤波器的转置scale1T可得：

s1=f（t）·scale1T

=（f（t）Φ■■，f（t）Φ■■，f（t）Φ■■，f（t）Φ■■）

=（4■，8■，13■/2，3■）（3）

其中，s1为该序列的第一层小波分解尺度系数。观察s1不难发现，它是由原序列f（t）的4组非重叠样本平均值再乘以■得到。序列f（t）的第一层小波分解尺度系数d1则是由f（t）乘以小波滤波器的转至wave1T得到：

d1=f（t）·wave1T

=（f（t）ψ■■，f（t）ψ■■，f（t）ψ■■，f（t）ψ■■）

=（-2■，-3■，3■/2，-■）（4）

其中，小波系数d1中的每个元素都等于原序列f（t）中非重叠相邻两项前后差值的平均值再乘以■。观察公式（3）和（4）不难发现，尺度系数与小波系数的长度均只有原序列的一半。另外，在求解小波和尺度系数的过程中之所以要乘以■主要是为了让尺度滤波器和小波滤波器满足规范正交性，即矩阵的转置等于其逆矩阵。

一层小波分解完成后，还可以对第一层尺度系数s1进行二次分解，得到二层小波系数d2和尺度系数s2，其具体计算过程如下：

s2=f（t）*scale1T*scale2T=（12，9.5）

d2=f（t）*scale1T*wave2T=（-4，3.5）

其中，scale2=■，■，0，00，0，■，■，

wave2=■，-■，0，00，0，■，-■。

同理还可以对该序列进行第三层的小波分解，得到三层小波系数d3和尺度系数s3：

s3=f（t）*scale1T*scale2T*scale3T=■■

d3=f（t）*scale1T*scale2T*scale3T=■■

其中，scale3=■，■，scale3=■，-■。至此，针对金融价格序列f（t）的三层小波分解过程全部完成。

2.2 离散小波变换的重构

小波分解只是完成了整个离散小波变换的一半，剩下的一半则是在保留原始信号f（t）全部信息的基础上实现从小波分解到原始信号的重构。该过程在小波变换中又被称之为离散小波变换的逆变换（IDWT）。

根据前面小波分解过程可知，尺度滤波器和小波滤波器均满足规范正交性，即矩阵的转置等于其逆矩阵。因此可以通过第一层小波系数d1乘以第一层小波滤波器wave1和第一层尺度系数s1乘以第一层尺度滤波器scale1，重构原始序列：

f（t）=s1*scale1+d1*wave1=A1+D1（7）

其中，A1=s1*scale1是对原始信号的第一层近似，又被称之为第一层光滑；D1=d1*wave1则蕴含了原始信号在第一层次变换上的细节，因此又被称之为第一层粗糙。同理我们可以用二层小波系数d2和尺度系数s2来重构第一层小波系数s1，再通过公示（7）求出第一层光滑A1：

A1=（s1*scale2+d2*wave2）*scale1=A2+D2（8）

其中，A2=s2（scale2*scale1，D2=d2*wave2*scale1。此时，原始信号f（t）实现了二层的多分辨分析过程。

f（t）=A1+D1=A2+D2+D1（9）

由于f（t）具有三层小波分解，所以A2还可以由第三层小波系数d3和尺度系数s3按如下形式进行构造：

A2=（s3*scale3+d3wave3）*scale2*scale1

=A3+D3（10）

其中，s3*scale3+d3wave3=s2。至此，原始信号f（t）的三层多分辨分析过程全部完成。

f（t）=A3+D3+D2+D1（11）

其中，式（11）中各细节Dj，j=1，2，3以及第三层光滑A3的具体数值均由表1所示。