分类例说换元法的应用

换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题。通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径和方法。根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元，（2）平均数换元法，（3）比值换元法，（4）三角代换法，（5）不等量换元法，（6）根式换元法，（7）倒数换元法，（8）相反数换元法，（9）坐标换元法等。

一、整体换元

例1 求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

解析：设t=sinx+cosx(－2≤y≤2),

则sinxcosx=t2－12。

故y=t2－12+t=12(t+1)2－1，

当t=2时,ymax=12+2。

二、三角换元

例2 求函数y=x+5－x2的值域。

解析：令x=5sinθ,θ∈［－π2,π2］,

则y=5sinθ+5|cosθ|

=5sinθ+5cosθ

=10sin(θ+π4)。

因为－π2≤θ≤π2，

所以－π4≤θ+π4≤3π4。

所以－22≤sin(θ+π4)≤1，

得－5≤10sin(θ+π4)≤10。

所以函数的值域为［－5,10］。

三、平均数换元法

例3 已知正数x,y满足x+y=1,求证:(x+1x)(y+1y)≥254。

证明：由题意可知，x，y的平均数为12，

令x=12+θ，y=12-θ，其中-12

则(x+1x)(y+1y)

=(x2+1)(y2+1)xy

=θ4+32θ2+251614－θ2。显然分子的值不小于2516，分母的值大于0，且不大于14，从而得证。

四、比值换元

例4 已知x，y，z满足x-1=y+12=z－23，试问实数x，y，z为何值时，x2+y2+z2达到最小值？

解析：由比例可以设x－11=y+12=z－23=t，则

x2+y2+z2=(t+1)2+(2t－1)2+(3t+2)2=14t2+10t+6。当t=－514时，即x=914，y=－127，z=1314时,x2+y2+z2达到最小值。

五、不等量换元

例5 求证：112+122+133+…+1n2+1(n+1)2

证明：对通项公式进行变形1k2

令k=2，3，…，n，n+1，则112+122+133+…+1n2+1(n+1)2

（作者单位：河南省新乡市卫辉市高级中学）由一道习题的变式评讲谈高三复习的有效性

■ 付 丽

众所周知，高三复习时间紧任务重，许多老师使用“高起点，快推进”的策略进行复习，常常以自己“已经讲完多少”为衡量复习的标准，不怎么关心复习的效果如何，这样必然造成“学生一听就会，一做就错”，“老师讲了几遍，学生还是不会做”，这是由于在复习中学生的思维没有真正得到锻炼，仅仅会简单模仿老师的解法所造成的。怎样打破这一现状，怎样锻炼学生思维提高复习效率？笔者在高三教学实践中发现，对一些典型例题的变式教学是有效地锻炼学生思维提高复习效率的策略。下面从一道习题的变式评价谈起，供参考。

习题再现：已知lga+lgb=lg(a+b)，求a+b的最小值？

一、一题多解

方法一：由题知，a＞0，b＞0且a+b=ab。

由均值不等式知，a+b=ab≤（a+b2）2，

即（a+b）2≥4（a+b）。又a+b＞0，a+b≥4，

当且仅当a=b时取等号。

评价：使用均值不等式ab≤（a+b2）2，对等式直接放缩。

方法二：由a+b=ab，其中a＞0，b＞0，两边同除ab，得1a+1b=1。

所以a+b=(a+b)（1a+1b）=2+ba+ab≥4，当且仅当ba=ab时取等号，即当且仅当a=b时取等号。

评价：本题两侧同时除以ab得到1a+1b=1，是“1”的妙用。

二、对方法一的变式

变式1 已知lga+lgb=lg(a+b)，求ab的最大值？

解：由题知，a＞0，b＞0且ab=a+b。

由a+b≤2ab，所以(ab）2≤2ab。

又ab≤2，所以ab≤4，

当且仅当a=b时取等号。

三、对解法二的变式

变式2 已知x、y、z∈R+，且x+2y+3z=1，求4x+2y+3z的最小值。（解略）

评价：文［1］把这一类型推广到了一般情况。

变式3 已知0＜x＜1，求函数y=4x+11-x的最小值。

提示：题目中隐含条件x+(1-x)=1。（解略）

变式4 若b-a=ab，其中a＞0，b＞0，求a-b的最大值？

解：因为b-a=ab，两侧同时除以a?b，得1a-1b=1。所以a-b=(a-b)（1a-1b）=2-(ba+ab)≤2-2ab?ba=2-2=0，当且仅当a=b时取等号。

四、多题归一

变式5 若正项数列{an}，a1=1，且an-1-an=an-1?an，求数列{an}的通项公式。

解：因为an-1-an=an-1?an，两侧同除an-1?an，得1an-1an-1=1，所以数列1an是以1a1=1为首项，公差为1的等差数列，所以1an=n，所以an=1n。

变式6 若正项数列{an}，a1=1，且an-1+an=3an-1?an，求a2012的值。

解：因为an-1+an=3an-1?an，两侧同时除以an-1?an，得1an+1an-1=3，所以数列1an是等和数列，所以1a1=1，1a2=2，1a3=1，1a4=2，…所以周期为2，所以1a2012=2，所以a2012=12。

变式7 （2010年山东理科21）如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1和F2为顶点的三角形的周长为4(2+1)。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D。

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程。

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1?k2=1。

（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。

参考文献

1.谢洪涛.《变式推广有必要，锻炼思维显功效》.［J］中学数学,2012.(3上):12.

2.林明成.《均值不等式等号成立的配凑技巧》.［J］中学数学月刊，2009.3:34-35.

3.余继光.《问题串、变式串、解法串》.［J］中小学数学，2011.1/2.34-38.

4.余锦银，余树林.《试卷讲评的四重境界》.［J］数学通报，2011.9.51-53.

（作者单位：河南省开封市尉氏县第三高级中学）