第5讲 指数、对数及其函数

考情分析

这部分内容在高考中主要考查指、对数运算，要求会将指数式与对数式相互转化，掌握指、对数的基本运算；指数函数和对数函数的图象和性质，还要会综合运用指、对数函数性质解题，主要涉及方程、不等式等的应用，重点考查分类讨论、数形结合等数学思想.高考中通常直接考查一至两个小题，还可能和方程的零点一起考查，一般在5至10分.

命题特点

这部分在高考中主要以小题为主，体现以下特点：（1）指、对数函数的定义域、值域、图象与性质的应用. （2）了解指数函数互为反函数.（3）以比较大小、求指对数函数在给定区间上的最值或值域等形式，来考查对数函数的单调性. （4）考查以指、对数函数为载体的复合函数的有关性质.（5）通过方程的零点考查指对数函数的图象.纵观这几年高考对这部分知识的考查是比较稳定的，要求我们熟练掌握基本性质和基本题型与方法.

1. 指对数的基本运算：注重分数指数幂与指数的转化，会进行指对数的转化，掌握对数运算性质.

例1 求下列各式的值.

（1） [1.5-13×-760]+80.25×[24]+（[23]×[3]）6-[2323]；

（2） log535+2[log122]-[log5150]-log514；

（3） log2[125]×log3[18]×log5[19].

（4）已知x，y为正实数，则 （ ）

A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgy B. 2lg（x+y）=2lgx ? 2lgy

C. 2lgx ? lgy=2lgx+2lgy D. 2lg（xy）=2lgx ? 2lgy

解析 （1）原式=[2313]+[234]×[214]+22×33-[2313]=2+108=110.

（2）原式=log5+2log2=log553-1=2.

（3）原式=[lg125lg2]×[lg18lg3]×[lg19lg5]=[-2lg5lg2]×[-3lg2lg3]×[-2lg3lg5]=-12.

（4）由指数和对数的运算法则，[2lg（xy）=2（lgx+lgy）=2lgx?2lgy].选D.

点拨 （1）（2）是分数指数幂与指数式的转化，通常将指数式化成分数指数幂，进行幂运算；（3）（4）是对数运算题，主要用到对数运算性质和换底公式.指数运算就是要将指数换成同底幂利用同底指数幂运算性质计算，对数运算往往是利用换底公式将底变为相同，再运用对数运算性质计算，注意是对数相加等于真数相乘，对数相减等于真数相除.

2. 指对数函数基本性质：主要涉及定义域、值域、单调性和过定点及指数函数与对数函数互为反函数等性质的考查.

例2 （1）函数[fx=log1+1xx>0]的反函数[f-1x=] （ ）

A. [12x-1x>0] B. [12x-1x≠0]

C. [2x-1x∈R] D. [2x-1x>0]

（2）函数y=[x]ln（1-x）的定义域为 （ ）

A. （0，1） B. [0，1）

C. （0，1] D. [0，1]

（3）若函数y=loga（x2-ax+1）有最小值，则a的取值范围是 （ ）

A. 0

C. 1

（4）函数y=1+[45x-1]的值域为 .

解析 （1）考查反函数，有题意可知，[1+1x=2y?x=][12y-1（y

（2）由幂函数和对数函数的定义域解不等式组即可.

（3）因为y=x2-ax+1是开口向上的二次函数，从而有最小值[4-a24]，故要使函数y=loga（x2-ax+1）有最小值，则a>1，且[4-a24]>0，得1

（4）设y′=[（45）]u，u=|x-1|. 由于u≥0且y′=[（45）]u是减函数，

故0

答案 （1）A （2）D （3）C （4）（1，2]

点拨 这几个题都是简单题，涉及函数定义域，单调性等基本性质，直接运用相关性质就可求解.指对数函数的基本性质是高考热点，要求要熟练掌握定义域、单调性、值域等有关知识，从而熟练解决这类问题.

3. 函数图象应用和零点：主要涉及指、对数函数图象及其图象变换，还有就是通过图象考查方程零点.

例3 函数[y=ax-1a（a>0，a≠1）]的图象可能是 （ ）

[y][x] [1][1][O] [y][x] [1][1][O] [y][x] [1][1][O] [y][x] [1][1][O]

A B C D

解析 排除法. 当a>1时，[y=ax-1a]为增函数，且在y轴上的截距0

答案 D

点拨 函数大致图象问题，解决方法多样，其殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.

例4 画出函数[y=3x-1]的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程[3x-1=k]无解？有一个解？有两个解？

解析 由图知，当k

[1] [y][x] [O]

点拨 利用指数函数的图象特征和图象变换解题是解决根的个数问题的重要方法.

4. 指对数函数综合应用问题：主要是运用指、对数函数的基本性质解决与不等式、方程等有关的综合问题，经常涉及参数问题.

例5 已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数.

（1）求k的值；

（2）设g（x）=[log4a?2x-43a]，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

解析 （1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x），

log4（4x+1）+kx=log4（4-x+1）-kx.

[log44x+14-x+1=-2kx]，即x=-2kx对一切x∈R恒成立，

k=[-12].

（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，

即方程log4（4x+1）[-12]x=[log4a?2x-43a]有且只有一个实根，

化简得方程2x+[12x]=[a?2x-43a]有且只有一个实根.

令t=2x>0，则方程（a-1）t2-[43]at-1=0有且只有一个正根.

①a=1，t=-[34]，不合题意.

②a≠1时，Δ=0，a=[34]或-3.

若a=[34]，t=-2，不合题意.

若a=-3，t=[12].

③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即[-1a-1]1.

综上，实数a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）.

点拨 这里涉及函数奇偶性，在解题过程中用到对数运算，第二问涉及指对数方程，通过换元转化为二次方程求解是重要方法.

例6 已知函数f（x）=[1ax-1+12]・x3（a>0且a≠1）.

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）讨论函数f（x）的奇偶性；

（3）求a的取值范围，使f（x）>0在定义域上恒成立.

解 （1）由于ax-1≠0，且ax≠1，所以x≠0.

函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}.

（2）对于定义域内任意x，

f（-x）=[1a-x-1+12]（-x）3=[ax1-ax+12]（-x）3

=[-1-1ax-1+12]（-x）3=[1ax-1+12]x3=f（x），

f（x）是偶函数.

（3）当a>1时，当x>0，由指数函数的性质知，ax>1，

ax-1>0，[1ax-1+12]>0.

又x>0时，x3>0，x3[1ax-1+12]>0，

即当x>0时，f（x）>0.

又由（2）知f（x）为偶函数，即f（-x）=f（x），

则当x0，有f（-x）=f（x）>0成立.

综上可知，当a>1时，f（x）>0在定义域上恒成立.

当0

当x>0时，00，

ax-10，此时f（x）

当x0，f（-x）=f（x）

综上可知， 所求a的取值范围是（1，+∞）.

点拨 这里涉及指数函数与奇偶性结合，并利用奇偶性的性质证明不等式，解决恒成立问题进行分类讨论，是常见方法.指对数函数和不等式，方程结合是常见题型，用到函数的相关性质，通常涉及分类讨论，数形结合等重要数学思想，是高考的热点题型，应值得关注.

备考指南

1. 把握基础知识，掌握好指对数函数的基本性质和图象特征，会通过图来题现数，从数中限定图，两者相互转化是解题金钥匙，特别要注意两种函数的底对性质的影响.

2. 通过本节学习，充分体现重要数学思想的应用；数形结合，分类讨论，函数与方程， 转化与化归都得到展现，应达到熟练掌握，以提升自身数学素养.

限时训练

1. 若log2a1，则 （ ）

A. a>1，b>0 B. a>1，b

C. 00 D. 0

2. 已知[a=0.3]，[b=20.3]，[c=0.30.2]，则a，b，c三者的大小关系是 （ ）

A. b>c>a B. b>a>c

C. a>b>c D. c>b>a

3. [2lg2-lg125]的值为 （ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

4. 不论a为何值时，函数y=（a-1）2x-[a2]恒过定点，则这个定点的坐标是 （ ）

A. [1，-12] B. [1，12]

C. [-1，-12] D. [-1，12]

5. 已知函数[f（x）=log4x，x>0，3x，x≤0，]则[f[f（116）]]= （ ）

A. 9 B. [19]

C. -9 D. -[19]

6. 如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程[lg（x+y）=lgx+lgy]，那么正确的选项是 （ ）

A. y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≥4

B. y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4

C. y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4

D. y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4

7. 已知函数f（x）=ax+logax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a的值为 （ ）

A. [12] B. [14] C. 2 D. 4

8. 当0

A. [0，22] B. [22，1]

C. （1，[2]） D. （[2]，2）

9. 若函数f（x）=loga（x+b）的大致图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g（x）=ax+b的大致图象是 （ ）

[y][x][1][1][-1][-1] [O] [y][x][1][1][-1][-1] [O] [y][x][1][1][-1][-1] [O] [y][x][1][1][-1][-1] [O] [y][x][1][1][-1][-1] [O]

A B C D

10. 若函数f（x）=loga（x2-ax+3）（a>0且a≠1）满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为 （ ）

A. （0，1）∪（1，3） B. （1，3）

C. （0，1）∪（1，2[3]） D. （1，2[3]）

11. 函数y=[8-16x]的定义域是 .

12. 已知函数f（x）=logax（a>0，a≠1），若f（2）>f（3），则实数a的取值范围是 .

13. 已知函数f（x）=[ln1+9x2-3x+1]，则f（lg2）+ [f（lg12）]= .

14. 设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c>a>0，c>b>0.

（1） 记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 .

（2） 若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是 . （填序号）

①x∈（-∞，1），f（x）>0；

②x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；

③若ABC为钝角三角形，则x∈（1，2），使f（x）=0.

15. 已知定义域为R的函数f（x）=[-2x+b2x+1+a]是奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）解关于t的不等式f（t2-2t）+f（2t2-1）

16. 定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=[14x-a2x]（a∈R）.

（1）求f（x）在[0，1]上的最大值；

（2）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围.

17. 已知函数[f（x）=loga（3-ax）].

（1）当x∈[0，[32]]时，函数[f（x）]恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数[f（x）]在区间[2，3]上为增函数，并且[f（x）]的最大值为1. 如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

18. 已知函数f（x）=loga[x+1x-1]（a>0，且a≠1）.

（1）求函数的定义域，并证明：f（x）=loga[x+1x-1]在定义域上是奇函数；

（2）对于x∈[2，4]，f（x）=loga[x+1x-1]>loga[mx-12（7-x）]恒成立，求m的取值范围.