对指数函数性质教学设计的探索

新的《国家数学课程标准》要求注意信息技术与数学课程内容的整合，要使计算机等现代信息技术设备成为学生学习和探索知识的有力工具.在指数函数性质教学时，利用《几何画板》将教学内容制作成课件（多媒体课件），可使学生视听感官的刺激更为强烈，教学效果也将更为明显.下面是我对此的几点做法，不足之处敬请广大读者不吝指出.

一、再现教材内容，增强教材内容的科学性

（1）定义域：R.（2）值域（0，+∞）.（3）过点（0，1）.（4）a＞1时在R上是增函数；0＜a＜1时是减函数.（如图1）指数函数y=a（a＞0，且a≠1）的图像与性质（《数学》必修1 P62）：（1）、（2）、（3）条性质是指数函数y=（）和y=2所共有的，（4）是a的不同取值范围时在单调性方面的区别.

很明显：这4条性质的给出用的是不完全归纳法.不完全归纳法不能作为一种论证方法，所得到的结论并不能保证它成立，还可能有的学生对此结论产生疑问.对此问题可用《几何画板》来动态演示出a的不同取值时指数函数图像：在射线AA1上绘制动点C，AA1=1，以AC的长度为底数a建立指数函数y=（AC）.可动画点C也可手动点C在射线AA1滑动，同时追踪y=（AC）的图像.容易看出：指数函数的共性（1）、（2）、（3）和差异性（4）即：当点C在AA1间滑动即0＜AC＜1时，指数函数的图像是下降的，为减函数；当点C在A1的右边沿射线AA1滑动即AC＞1时，指数函数的图像是上升的，为增函数（如图2）.这样指数函数0＜a＜1及a＞1时的图像和性质在《几何画板》的动态演示中就一目了然了.这必然会加深学生的印象，又能增强教材内容的说服力.

二、创设问题情境，通过做数学来培养学生的数学探究能力

做数学（doing mathemtics）是数学教育的一个重要观点，它强调学生学习数学是一个现实的经验、理解反思的过程，它认为学生的思考、实践与探索数学是学生理解数学的重要条件.学生学习数学应是一个做数学的过程，不应该是单纯地记数学、背数学、练数学、考数学的过程.所以，我们必须重视学生的主体活动来创设问题情境，使学生通过猜测、观察和操作等方式来做数学，给学生提供自主探索、合作交流、积极思考和操作实验的机会，使学生成为数学学习的主人.

在图1、2的演示中我们加设问题：

（1）当a即AC取0，1时指数函数图像什么？

（2）f（x）=2和g（x）=（）的图像有什么关系？由此可得什么结论？

对于问题（1）学生可以作出y=0（x＞0，x取零及负数没有意义）及y=1的图像，它们分别是y=0及y=1的两条直线.问题（2）提出后要求学生观察图1进行猜测，并自己动手做实验.在此过程中教师可启发学生分析f（x）与g（x）中底数2与的关系.可在图2的基础上再作出y=（）的图像来与y=a得图像进行比较，动化点C就会得出y=a与y=（）的图像关于y轴对称的结论.（如图3）

另外还可以再设置一些探索性的问题，如底数不同时幂值的大小比较：

（1）0＜a＜a＜1时，a与a的大小比较；

（2）1＜a＜a时，a与a的大小比较；

（3）0＜a＜1，1＜a时，a与a的大小比较.

这些问题会成为学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动的主要素材.这样他们在探索的过程中就会真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，同时获得广泛的数学活动经验.

三、展示数学美感，陶冶审美情操的同时促进学生的智力发展

古代哲学家、数学家普罗克拉斯说：“哪里有数，哪里就有美。”近代数学家哈代则认为数学家是用概念造型的艺术家。数学是美丽的，数学的美感给其自身以无穷的魅力，同时也给人以难得的启迪。

如要学生来观察在图3上的指数函数的图像，引导他们进行丰富的想象，看看它们像什么？美感好的学生就会想象到一朵花的形象。再用《几何画板》作出几个关于y轴对称的指数函数图像，将函数的图像设成红颜色，把坐标轴设成绿颜色，这时一朵花的形象就更加明显了。

还可以将图3中的图像再关于y=x这条直线对称过去，得到另一组图像（对称函数的图像）。这也是一朵花的形象，而且这还可以引入下一节的教学内容《对数函数》。教学中能充分挖掘出数学内容中美的因素，给学生以美的感受而使其产生愉悦的情感体验。由情感体验而产生对对象丰富意蕴的深刻领悟，造成情景交融师生共鸣的课堂气氛，让学生置身于美的创造和美的欣赏之中，使学生的智力因素和非智力因素充分协调交互作用，这无疑有利于发展智力和培养能力。

《几何画板》为我们创设了一个数学实验室，提供了一个理想的做数学的环境。有局域网的学校，还可以把教师上课用的课件和问题放在服务器上或教师主机上，把教学内容设计成人机互动的形式，让学生在课下可以反复读取，进行个别化学习。并对视频、音频进行处理，让学生边做、边看、边听，当遇到困难时可按“帮助”按钮获得帮助，从而进一步消化和巩固所学内容。这样，使学生获得知识的来源更加多元，从“听”数学转变为“做”数学，即以研究者的方式，参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。这无疑极大地增强了学生的学习兴趣，也增加了数学教学技术含量，提高了教学效率。

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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