高等数学案例式教学探究

摘 要： 本文结合高等数学在经济管理学科的特殊应用背景，提出了高等数学的案例式教学法。主要目的在于提高学生对高等数学的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力，让高等数学能更好地为他们的专业课程服务，并介绍数学软件辅助计算，提高学生的计算能力。

关键词： 高等数学 案例式教学 数学软件

一、引言

高等数学是高等学校的基础学科，高等数学的学习不仅为后继数学和专业课程的学习奠定必要的理论基础，而且培养了学生的抽象思维、逻辑推理能力，并且在培养学生综合利用所学知识分析问题、解决问题的能力，自主学习能力，以及创新意识和创新能力上都具有非常重要的作用。但是一方面由于高等数学学科本身理论性较强，要求学生有严密的逻辑推理能力和很强的运算能力，一直以来给学生一种抽象、深奥的感觉，使得学生害怕学习高等数学。另一方面，学生在学习高等数学的过程中，缺乏运用高等数学解决实际问题的环境，这使他们认为高等数学是脱离实际的，学不好高等数学对他们以后的工作、生活没有任何影响。从而让很多学生失去了对高等数学的学习兴趣。

为了提高学生学习高等数学的学习兴趣，很多专家学者做了大量研究，并且提出了很多教学方式方法。案例式教学法就是其中之一。案例式教学是指在课堂教学中，以实际案例为媒介，将理论教学与实际相结合，培养学生运用理论知识解决实际问题的能力，从而引发学生学习兴趣，并且满足学生身心发展的需求。案例式教学起源于美国哈佛大学情景案例教学课，在经济教学中取得了巨大的成功。在高等数学教学中运用案例式教学法，通过解决实际问题，将抽象的数学理论转化为具体的实际问题，让学生不再觉得数学深奥难懂，克服害怕数学的心理障碍，并且在解决实际问题的过程中，让学生领会到数学理论知识的作用，提高学生的学习兴趣，并培养学生解决实际问题的能力。这样，不仅提高了学生的学习兴趣，而且提高了教师的授课效率。

二、案例式教学理论

案例式教学法应以学生为中心的教学理念为指导。无论是在课前准备教学，课中课堂教学，还是课后巩固练习，都应以满足学生的学习需求和培养学生的思考问题、解决问题的能力为目标。

课前对案例的选取，首先应充分了解学生的学习状况，选取的案例应符合学生学习状况，能被学生接受和认同。其次，应熟悉教材内容，案例的选取应和本节课学习的内容有较好的关联，能体现本次课的教学目标，并且在解决案例过程中能用到本节课所学习的理论知识。再次，案例的选取应和学生所学专业知识相关联，增强学生的认同感。同时也应提醒学生预习课本，了解相关的概念。

上课时，第一步：引导学生理解案例，并提出具有针对性、引导性的问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。第二步：给学生讲解案例中涉及的数学概念及相关理论知识，引导学生将实际问题转换为数学问题。第三步：让学生以小组为单位，互相讨论，在所学到的理论知识的基础上提出问题的解决办法;并让小组之间相互评价解决办法的优劣。在该过程中，教师应恰当引导学生讨论问题的方向，鼓励学生提出解决问题的办法，并尝试解决问题。第四步：在学生相互评价之后，教师应对学生所提出的解题思路和方法做出点评，进行归纳、总结，并给出合理的解决办法。第五步：对案例进行推广，列举类似案例，分析案例解决思路，类比找出共同点，给学生归纳一般化解决类似案例的思路和方法。

课后，给学生提出类似的案例问题，巩固课堂上所学到的理论知识和思想方法。另外，为了提高学生动手能力，引起学生课下研究问题的兴趣，可以让学生借助数学软件Matlab、Mathmatica等辅助计算解决问题。

这样，不仅让学生学会了数学理论知识，而且能灵活用数学知识解决实际问题，从而将理论和实际结合起来，完善课堂教学的实践内容，为学生以后走向工作岗位提供了锻炼机会。

三、具体案例实施

极值和最值，选用案例：一日，走在漓江边上，看着江水滚滚而过，突然想到一个问题：江水的流速是岸边的快还是江中间的快呢？

组织学生测量，得到一组数据：附件1。

建立模型：通过数据拟合得：v=-0.0091x2+1.3603x-0.1839，其中x是到岸边的距离，是水流速度。

问题的转化：要说明水流速度最快的位置，这个问题可以转化为求一元函数的最值问题，进而转化为求一元函数的极值。

引入新知识的讲解：一元函数的极值问题：极值点，驻点，极值点与驻点的关系，求驻点的理论，判断驻点是否为极值点的方法。

给学生进行分组，让他们组内互相讨论，提出解决问题的思路和方法，并小组之间相互评价解决问题的思路和方法，直观感受各自思路方法的优劣。

做点评和归纳总结：对学生提出的解决办法做出评价，综合整理，给出该问题的解决办法。通过函数的导数等于零求出驻点x=75.13151，并判定在此处有极大值v=50.91173。可以得出结论：在河中央，水流速度最快。建议学生利用数学软件辅助计算，解决问题，同时提供数学软件的计算方法（附件2）作为参考。

案例模型的推广：经济学中销售量多少时利润最高，工程中用料最省等实际问题都可以转化为数学中的极值问题进行解决。

课后留给学生思考问题：在经济学中，利润和销量及销售价格有关系，并且销量与销售价格也是有关联，假设一件物品，拥有人数最少为零，拥有人数最多为人人拥有，试探究当拥有量为多少时，利润最高？

这样解决实际生活中的问题，不仅提高了学生的学习兴趣，而且培养了他们实际解决问题的能力。

四、结语

案例式教学时在传统的高等数学教学过程中加入了实际问题的考虑。它不仅能更好地激发学生的学习兴趣，而且能培养学生运用数学解决问题的能力，将数学和他们的专业知识紧密结合在一起，让学生意识到数学在专业课程中的重要作用。通过对实际问题的处理，学生不仅掌握了数学上的解题、计算，而且学会了如何运用数学知识。最后，介绍Matlab等专业数学软件是为了让学生能更方便快捷地解决实际问题，从繁琐的数学计算中解脱出来，让数学更好地为其专业服务。

参考文献：

[1]郑金洲.案例教学指南[M].上海：华东师范大学出版社，2000.1.

[2]张民杰.案例教学法――理论与实务[M].兰州：甘肃文化出版社，2005.9.

[3]郭德红.案例教学：历史、本质和发展趋势[J].高等理科教育，2008（1）：22-24.

[4]段复建.微积分[M].北京：科学出版社，2013.7.

特别感谢桂林理工大学博文管理学院教育教学研究与改革项目（编号为JYJG2013001）及项目负责人何宝珠老师的支持！

附件1：河流测速示意图：

测量数据：

附件2：课堂案例的Matlab计算方法：

clc;clear all

v=xlsread（？qtestdata.xls？q）;

v=v？q;

n=length（v）;

d=0：2：2*n-1;

plot（d，v，？q*？q）

v1=polyfit（d，v，2）;

v2=polyval（v1，d）;

hold;

plot（d，v2）

syms x;

y=v1（1）*x^2+v1（2）*x+v1（3）;

dy=diff（y，x，1）;

x0=solve（dy）;

x0=double（x0）;

ddy=diff（y，x，2）;

ddy_x0=subs（ddy，x，x0）;

if ddy_x0>0

fprintf（？qx=%d.水流最慢：%d？q，x0，subs（y，x，x0））;

elseif ddy_x0<0

fprintf（？qx=%d.水流最快%d？q，x0，subs（y，x，x0））;

else fprintf（？qx=%d.无法判断极值？q，x0）;

end