基于多项式样条函数的我国零息票收益率曲线构造

摘 要：零息票收益率曲线是利率期限结构理论分析的基础，在金融估价和风险管理中发挥着重要作用。提出基于多项式样条函数构造零息票收益率曲线的过程及改进方法：考虑国债采样日位于付息日之间、年付息次数可变的情形，使分析更具一般性；针对多项式样条函数拟合时回归系数不显著的问题，采取剔除不显著变量的方法进行改进；讨论比较了两种样条值确定方法在我国的适用性，并研究了模型的稳定性。选取上交所国债进行的实证研究表明，在现阶段我国国债样本数据较少、结构不甚合理的情况下，采用剔除不显著变量的三段三次样条函数可以较好地构造我国的零息票收益率曲线。

关键词： 多项式样条函数；零息票收益率曲线；利率期限结构

中图分类号：F830.9 文献标识码： A文章编号：1003-7217(2011)05-0020-06

一、引 言

利率期限结构在现代经济学和金融学中占据重要地位，对利率期限结构的精确估计是固定收益证券定价和利率风险管理的基础。在刻画利率的期限结构时，通常选取零息票国债作为无风险债券，由于零息票国债利率剔除了违约风险、再投资风险的影响，构造的零息票收益率曲线反映了国债收益率与到期期限之间的一一对应关系。从理论上讲，只要存在期限足够多的零息票国债，便可以直接构造出零息票收益率曲线。然而在债券市场上，零息票国债的数目很少，大部分为附息国债。

如何以附息国债为基础，构造符合当天价格信息的利率期限结构是静态模型主要研究的内容，静态模型中最为常用的方法有息票剥离法和多项式样条函数法。Hull（2006）介绍了对债券的息票剥离和插值方法［1］。郑振龙、林海（2003）给出了一种息票剥离的新视角，首先假设只存在短期和长期两只国债，根据付息及期限情况进行线性插值，扩展到多只国债、多个付息日的情况从而构造零息票收益率曲线［2］。杨宝臣、李彪（2004）将息票剥离法与多项式样条函数相结合给出广义息票剥离方法［3］。息票剥离法在我国的实证结果并不好，这主要是因为我国国债的发行周期尚不规范，国债期限品种分布不合理，样本数据较少，大量采用插值法造成结果的偏差较大，而所谓的广义息票剥离方法从本质上仍是一种多项式样条函数法。

McCulloch（1971，1975）最早将多项式样条函数法应用于利率期限结构的估计，假设贴现函数为分段连续的多项式函数，通过多元线性回归估计出贴现函数的各参数，从而间接地构建利率期限结构［4，5］。Deacon等（1994）对样条函数的分段数（以下称为样条值）进行实证检验后指出，样条值越大，模型的拟合程度越好，但曲线由于对非显著数据过于敏感而使平滑度较差；反之样条值越小，曲线的平滑度越好，但拟合程度越差［6］。现有研究中对如何确定样条值并没有形成通用标准，比较有影响的做法有：一是采用McCulloch的做法，选取样本数目的平方根为样条值；二是不考虑样本数据多少，直接采用三段样条。

朱世武、陈健恒（2003）对比分析了多项式样条函数法和Nelsen Siegel Svensson扩展模型，认为前者的拟合效果较后者为优，但从期限结构理论上分析认为后者更合理［7］。贺国生（2005）基于交易所和银行间债券市场的国债数据，采用三次多项式样条函数构建了零息票收益率曲线，但短期限内的即期利率出现负值，与实际不符［8］。周荣喜、邱菀华（2004）将样本分为实证和验证过程，由三次样条函数得出的息票国债理论价格和市场价格之间存在着较大的偏差［9］。李熠熠等（2009）研究了利率期限结构拟合中样条函数的节点选择问题，提出将节点逐点删除方法应用于节点选择，样本外测结果显示该方法提高了期限结构拟合的准确性［10］。

我国学者在采用多项式样条函数构建我国零息票收益率曲线时进行了一些有益的尝试，并对结果进行了一些合理的解释，但现有研究中仍存在着几个问题。首先是在债券定价公式中较少考虑采样日位于付息日之间、年付息次数可变的情形；其次是没有比较不同样条值对拟合结果的影响；再次是基于多项式样条函数建立的回归模型中，仅考虑了方程的整体线性关系和拟合优度，没有考虑各回归系数的显著性程度，容易出现短期内即期利率为负的情形。同时，现有研究中对拟合结果的评估以定性为主，对拟合误差的定量估计较少。对这些问题的忽略或不恰当处理导致了在应用多项式样条函数构造我国零息票收益率曲线时结果很不理想，以下就这些问题展开研究。

二、模型建立

（一）国债即期利率的数量模型

对于不存在隐含期权的债券而言，债券价值即为未来所有现金流的现值之和。这看上去很简单，然而在实际应用中并非如此，有几个问题需要解决。首先，对于一年支付多次利息的债券，其利息的支付次数、每次支付的利息和贴现率都需要进行相应的调整。其次，对于在两个利息支付日之间购买债券的情况，下一个利息支付将在单位利息支付期间以内实现，此时需要采用上一利息支付日至购买债券日之间天数与利息支付期间天数的比值来确定应付利息比例。最后，也是最重要的问题是如何确定贴现率，根据对债券定价原理的分析，某一时点的贴现率即为该时点上零息债券的到期收益率，也是距该时点期限的即期利率。若能计算出各期限的即期利率，便可以确定债券的价值，反之，若能够知道债券的价值情况，便可以建立起即期利率与期限间的关系，而后者正是利率期限结构研究的内容。

在以上分析的基础上，本文对传统的债券定价公式进行了修正，给出基于付息期间的国债定价公式为：

P=∑Ni=1c［1+r(i－wf)］i－wf+

M［1+r(N－wf)］N－wf（1）

其中，P为用全价表示的国债价值，当采用净价交易方式时，计算P时需要在成交价格基础上加上应计利息以得到国债的真实市价，应计利息为自上一计息日至采样日期间内应计的利息；N为国债从采样日至到期日的期数，即未来利息支付的次数（含到期日的利息支付）；M和c分别为国债的面值和每期支付的利息；w为上一付息日至采样日的期限占单个付息期间的比重，0≤w＜1；f为每年支付利息的次数；r为国债的年到期收益率。

财经理论与实践(双月刊)2011年第5期2011年第5期(总第173期)丁 浩，刘若斯等：基于多项式样条函数的我国零息票收益率曲线构造

在实际估值中，通常采用将各期现金流乘以一个贴现因子的方法，该贴现因子表示t年后到期支付1元的零息票国债的现值，记为B(t)。引入B(t)，将式（1）变形为：

P=∑Ni=1c•B［(i－w)/f］+M•B［(N－w)/f］（2）

记R(t)为连续复利表示的即期利率，根据无套利条件，有：

R(t)= ln ［1+r(t)］（3）

根据式（1）、（2）、（3），可以建立起贴现因子与连续复利即期利率和年率即期利率的关系为：

记y为P减去式（2）右面常数项，联立式（2）和式（7），则建立了一个以y为被解释变量，以β1、γ1、δi(i=1,2,…n)为解释变量的不含常数项的多元线性回归方程。根据线性回归的知识，选取国债样本数据，当推导出的估计值最接近样本中的y时，便可以估计出各参数，从而得到贴现函数B(t)的表达式，进而根据贴现因子与连续复利即期利率（或年率即期利率）的关系构建出零息票收益率曲线。

在建立的模型中，对样条值的选取存在着在拟合程度和平滑性之间合理取舍的问题，在下面的实证部分中将比较两种经验选取方法对结果的影响。关于回归模型中系数的显著性问题，我国学者的研究中大都对此进行忽略，本文将对剔除不显著变量前后的模型从拟合误差和经济解释两个方面进行比较研究。

三、实证研究

我国国债市场经过20多年的发展，市场化程度逐步提高，国债利率在一定程度上具有基准利率的作用，这也为我们构造零息票收益率曲线提供了较为丰富的样本数据。本文选取2009年2月27日上海证券交易所的上市国债31种，以当日收盘价为市价②。由于自2002年3月25日起，国债采用的是净价交易方式，报价中不含应计利息③，因此，研究中需要加上应计利息以得出真实的国债市价。国债基本信息如表1所示。`

将采用McCulloch方法未剔除变量的模型记为M1，将采用样条值为3未剔除变量的模型分别记为N1。将数据代入构建回归方程，利用最小二乘法得出各参数的估计值和误差统计量见表2第一、三行所示。

结果显示，两个模型中调整的决定系数2均大于0.99，方程的拟合优度很高，F统计量的伴随概率均为0，方程的线性关系显著。对于未剔除不显著变量的模型M1和N1而言，部分系数未能通过5%置信水平的显著性检验。戴国强（2005）较早地注意了这一问题，并给出降低样条阶次，采用二阶多项式样条函数的方法［11］，由于减少样条阶次会降低曲线的拟合精度，本文将在保持样条阶次的条件下，采用剔除不显著变量的方法重新建立模型进行估计，对应的，新建立的两个模型记为M2和N2。将剔除变量前后的模型两两分别比较可以发现，模型M2的RMSE高于M1的，但MAE、MAPE均较前者为低，模型N2的RMSE、MAE均高于N1的，但MAPE低于前者，因此，从误差项估计无法明确说明剔除前后两个模型的优劣。从每只国债的误差值来看，M1、M2、N1、N2四个模型中误差大于2的国债数目分别为1、1、1、2；误差大于1的国债数目均为3；误差大于0.5的国债数目分别为6、5、3、4。以上结果说明剔除前后模型的误差相差不大，但可以发现样条值为3的模型N1和N2要优于样条值为5的模型M1和M2。

接下来将从模型的经济意义方面进一步比较，首先，根据式（8），（9）可以计算出M1、M2、N1、N2四个模型的贴现因子，再根据贴现因子和连续复利即期利率的关系，可以方便地绘制出2009年2月27日上海证券交易所国债的零息票收益率曲线如图1所示。

M1模型构造的曲线出现期限较小时即期利率为负的现象，这显然不符合现实，剔除不显著变量后的M2模型解决了这一问题。M1和M2模型的曲线形状较为一致，呈先上升后下降，在到期期限大于2年后，曲线一直呈上升趋势。N1和N2模型的形状基本一致，但在到期期限小于1年的区间内，N1模型呈下降趋势，通过查询债券信息网和中国货币网，发现在该日并没有出现明显的拐点，因此，N1模型中短期利率高于长期利率的现象与现实不符，N2模型构造的曲线则是一条从左向右正向倾斜的图形，长期利率高于短期利率，是最为常见的一种期限结构，符合流动性偏好理论。

基于McCulloch方法建立的两个模型使国债的估计价格和市场价格尽可能地接近，但得出的零息票收益率曲线明显不符合经济意义，存在着过度拟合的现象，因此，McCulloch对样条值选取的经验判断在我国并不适合。本文采用样条值为3建立的两个模型，基本反映了利率的实际期限结构，而且由于待估参数减少，方便了在实际中的应用。比较剔除不显著变量前后的两个模型可以发现，剔除不显著变量后模型的RMSE、MAE有所降低，降低了模型的精度，但构建的曲线却更具现实意义。当样条值较大时，剔除不显著变量可以避免出现即期利率为负的情形；当样条值较小时，待估参数较少。可见样条值为3且剔除不显著变量的模型N2兼顾了曲线的平滑性和估计的精确性，构造的零息率收益率曲线更具现实意义。

图1 不同模型构造的零息票收益率曲线

朱世武（2007）提出合理利率期限结构的一个判断标准为模型的稳定性要好［12］，即当数据发生较小的变动时，曲线不能出现无法解释的大跳跃、大倾斜等。模型N2是2009年2月27日的利率期限结构，本文再次选择下一交易日（2009年3月2日）的数据，仍然采用样条值为3、剔除不显著变量的模型构建零息票收益率曲线如图2所示。同图1中模型N2构建的曲线相比可以明显发现，曲线形状并没有在短期内出现大幅的变化，模型的稳定性相对较好。

图2 零息票收益曲线（2009年3月2日）

四、小 结

通过建立基于多项式样条函数构造零息票收益率曲线的一般过程，可以方便地应用到更多更复杂的样本中去，从而使得曲线的构造与比较更加简便。以上实证结果显示了这一过程的合理性，而且由于相对丰富的样本数据，结果也更具现实意义。基于多项式样条函数构建零息票收益率曲线可以有效避免息票剥离法的不足，是分析我国利率期限结构的一个有效方法。

以上研究考虑了采样日位于付息日之间、年付息次数可变的情形，从而使分析更具一般性；在进行三次样条函数拟合的时候，考虑到可能会出现回归系数不显著的问题，从而采取剔除不显著变量的方法进行改进，更好地兼顾了曲线的平滑性和估计的精确性；构建我国利率期限结构时，认为三段样条函数要优于McCulloch的经验做法。因此，在现阶段我国国债样本数据较少、结构不甚合理的情况下，只要对模型设计与实现过程全面科学考虑，采用多项式样条函数构建零息票收益率曲线是一个不错的选择。

注释：

①另一利率期限结构的表达形式瞬时远期利率为： ρ(t)=-B′(t)/B(t)，该定义式同样说明了贴现函数的连续性及一阶可微性。

②当日无交易数据的国债，则以距该日最近交易日的收盘价为市价。

③ 应计利息为自上一计息日至采样日这一期间应计的利息，计算公式为：应计利息=（面值×票面利率/计息频率）×已计息天数/付息期间天数。

④δ5对应的t统计量伴随概率略大于0.05，在模型中予以保留。

参考文献：

［1］Hull J. Options, futures, and other derivatives (6th ed.) ［M］. New Jersey: Prentice Hall, 2006: 82-84.

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［8］贺国生. 商业银行利率风险度量模型与管理模式研究［D］. 西南财经大学, 2005.

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Zero-Coupon Bond Yield Curve in China Based on Polynomial Spline Functions

DING Hao1, LIU Ruo-si1, XU Xiao-min2

(1. Faculty of Management and Administration, Macau University of Science and Technology, Macau 999078, China;

2. Taicang Subbranch, Agricultural Bank of China, Taicang 215400, China)

Abstract：Zero-coupon bond yield curve is the basis of term structure of interest rates. It plays an important role in financial pricing and risk management. Considering the frequency of interest payment and the situation of sampling date between interest payment dates, the general process of constructing the zero coupon bond yield curve is given based on polynomial spline functions. In response to the problem that the regression coefficients are not significant, a model excluding not-significant variables is given. The applicability of the two methods to determine the spline knots is discussed as well as the stability of the model. Using the bond data from Shanghai Stock Exchange, the empirical analysis shows that the cubic spline model with three knots excluding not-significant variables is more accurate and closer to the reality in China.

Key words：Polynomial spline function; Zero-coupon bond’s yield curve；Term structure of interest rates