二元函数极限的两种定义之比较

摘要：从一元函数到二元函数，虽然只多了一个自变量，然而在研究关于函数的一些问题时却会产生许多完全不同的情况，二元函数要比一元函数复杂得多。本文对现在比较通用的工科微积分教材中二元函数极限的两种形式的定义进行了比较。

关键词：二元函数 极限

中图分类号：G642.41 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.19.127

在一元函数f（x）中，由于只有一个自变量，所以在研究x?x0函数的极限时，只需考虑x从x0左右两侧趋于x0的情况。因此，极限 的充分必要条件是f（x）在x0的左右极限均存在且相等。对于二元函数f（x，y），要讨论P（x，y）点趋向于点P0（x0，y0）的极限问题，虽然自变量只增加了一个，但是却是发生了质的变化，这就使得二重极限出现了比一元函数的极限复杂得多的情况。点P（x，y）在xOy平面趋于P0（x0，y0）的路径有无数多条，既可以沿着直线趋于P0，还可以沿各种不同的曲线趋于P0。因此二重极限的 f（x，y）=A定义应蕴含着无论P以何种方式趋于P0时，函数f（x，y）都能够任意接近于A的要求。

从现行通用的工科教材来看，二重极限的定义主要有以下两种形式：

定义1 设函数f（x，y）在平面区域D上有定义，P0（x0，y0）是D的内点或边界点，A是一个定数。如果对于任意给定的正数ε>0，总存在正数δ，使得对于适合不等式0

定义2 设函数f（x，y）在平面区域D上有定义，P0（x0，y0）是D的一个聚点，若存在常数A，使得 >0， δ>0当P（x，y）D∩[U]（P0，δ）时，恒有|f（x，y）-A|< ，则称A为函数f（x，y）当P?P0时的极限。

不难看到，定义1是一元函数极限概念的推广，而定义2则显得有些抽象。但实际上定义2更为严密、合理，适用范围更广。

定义1要求函数f（x，y）在P0的去心邻域内的每一点都有定义，使得[U]（P0，δ）在中的每一点都满足不等式|f（x，y）-A|

函数f（x，y）在两条坐标轴上（原点除外）无定义，在原点O 的任何一个去心邻域内，都含有函数的无定义点，故不能用定义1来讨论当（x，y）?（0，0）时的极限。但由于O（0，0）是函数定义域的聚点，我们可以用定义2来讨论当（x，y）?（0，0）时函数f（x，y）的极限。

总的看来，从不太严格的角度说，由于定义1是 一元函数极限概念的直接推广，学生接受起来比较容易些，因此对于数学要求不高的教材多采用定义1， 定义2虽然有些抽象，但是比较严谨，适用性强，更能反映一般的情况，所以对于数学要求较高的教材（如工科数学分析）则多采用定义2。

作者简介：周正迁，河北科技大学理学院，河北石家庄 050018