高考平面向量,一道亮丽的风景线

摘 要：平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现.近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出"综合应用，融会贯通"的特色，充分彰显平面向量的交汇价值。

关键词：高考 平面向量 高中数学

打开今年的全国各省市高考数学试卷，我们可以感受到高考对平面向量知识的考查，很好地体现了在知识的交汇点处命题的指导思想，发挥着向量的工具作用.点击平面向量题型，犹如一道亮丽的风景线，展现在我们面前.下面以2013年全国各套高考数学试卷、模拟试卷中涉及的平面向量考题为例，感悟平面向量无处不在的精彩.

一、数形结合，展现向量的多彩形式

平面向量融数、形于一体，在知识的呈现上，既有代数形式的向量加法、减法、数乘运算以及数量积运算，又有向量加法、减法、数乘运算的几何意义和数量积的坐标运算，表现出形式多样，方法灵活，给高考提供了多渠道的命题视角.

例1 （2013・湖北八校高三第一次联考）如图，MN是半圆O的直径，MN=2，等边三角形OAB的顶点A、B在半圆弧上，且AB∥MN，点P为半圆弧上的动点，则 的取值范围是（ ）

【解析】 P在BM或AN中运动时∠BPA=30°在AB中运动时∠BPA=150°

PA・PB最大值为P在M或N处，|PA|= ，|PB|=1或|PA|=1，|PB|=

（PA・PB）max=|PA|・|PB|cos 30°=■■

当∠BPA=150°时，cos∠BPA=■=- |PA|2+|PB|2=1- |PA||PB|≥2|PA||PB|

|PA|・|PB|≤2- ，（PA・PB）min=（2- ）× =■- .故选B.

二、知识交汇，体现向量的工具价值

平面向量作为中学数学知识的一个交汇点，成为联系着多项内容的桥梁，特别是在三角函数、平面解析几何问题上的研究，更是体现了它的工具价值.向量的坐标表示使平面向量与直角坐标系中的点建立了一一对应的关系，构建了用“数”的运算处理“形”的问题的一种新模式.

例2 （2013・安徽卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|=|OB|=OA・OB=2，则点集{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ）

【解析】 由|OA|=|OB|=OA・OB=2，可得∠AOB=■，又A，B是两定点，可设A（ ，1），B（0，2），P（x，y），由OP=λOA+μOB，可得 因为|λ|+|μ|≤1，所以

+ ≤1，当 时，由可行域可得S0=■×2× = ，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S=4S0=4 ，故选D.

三、思维创新，彰显向量的探究能力

设置创新题是高考命题的特色，它是知识与能力选拔的一种重要体现方式.平面向量的几何形式与代数形式的“双重身份”，为我们研究创新问题提供了多种方式和方法.

例3 （2013・山东滨州模拟）定义平面向量的一种运算：a b=|a|・|b|sin〈a，b〉，则下列命题：

①a b=b a； ②λ（a b）=（λa） b；

③（a+b） c=（a c）+（b c）； ④若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a b=|x1y2-x2y1|.

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.

【解析】 ①显然成立，②中λ

，故④正确，综合得①④正确.

本题是一道新定义信息题，考查学生对新定义的理解以及处理问题的能力.解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在.