阿基米德折弦定理及其推论的应用

1 折弦定理

如图1，AB和BC组成一个圆的折弦，如果BC>AB，M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线之垂足F为折弦ABC的中点，即FC=FB+BA.

证明：如图1，在BC上取点D，使CD=AB，连结MA、MB、MC、MD.

因为AM=MC，所以AM=MC.又∠DCM=∠BAM，CD=AB，所以ABM≌CDM，所以MB=MD.而MFBD，故BF=DF，所以FC=CD+DF=AB+BF.折弦定理是由著名的数学物理学家阿基米德发现并命名的，因此，人们亦称之为阿基米德折弦定理.

根据折弦定理，还可得到如下两个推论：

推论1 当M是折弦ABC的ABC的中点时，有AB・BC=MC2-MB2；

证明：当M是折弦ABC的ABC的中点时，如图1，由勾股定理及折弦定理知.

MC2-MB2=CF2-FB2=（CF+FB）（CF-FB）=BC・AB.

推论2 当M是折弦ABC的AC的中点时，有AB・BC=MB2-MC2.

证明 当M是折弦ABC的AC的中点时，如图2，取ABC的中点N，连结NB、NC、 NM，由（1）知NC2-NB2=AB・BC.显见，NM为圆的直径，故NC2+MC2=NM2，NB2+MB2=NM2，所以NC2-NB2=MB2-MC2，所以MB2-MC2=AB・BC.

2 定理及其推论的应用

例1 在ABC中，AB>AC，∠A的一个外角平分线交ABC的外接圆于点E，过E作EFAB，垂足为F，求证2AF=AB-AC.

证明 如图3，连结EB，EC，则∠1=∠2=∠3=∠4，又∠2=∠EBC，所以∠4=∠EBC，EB=EC，所以E是折弦弧BAC的中点，由折弦定理，可得BF=FA+AC，AB-FA=FA+AC，所以2FA=AB-AC.

例2 如图4，A，B，C，D是圆上四点，AB=BC=CD.求证：BD2=AB（AB+AD）.证明 因B是AC的中点，对折弦ADC，由推论，知AD・DC=BD2-AB2.

教学实践表明，注意对著名几何定理的研究，对于帮助学生理解课本内容，提高分析问题和解决问题的能力，提高发散解题水平，启迪思维均颇有益处，同时这样的专题研究，既有利于学生系统灵活地掌握学过的课本知识，提高学习效率，又有利于提高数学思维的能力和综合运用知识的能力，更有利于培养学生的思维品质，调动学生学习的积极性，提高学生的专题总结水平，融会贯通所学过的几何代数知识，培养学生研究数学的兴趣，提高教与学的质量.对于培养学生探索精神和创新意识将会起到积极的作用.因而，随着教育的不断现代化，引导学生探究几何定理的应用，体现数学研究的潜能是十分重要的.