浅谈函数的课堂教学

【摘 要】函数周期性是函数的几个重要性质之一，它能反映周期函数的函数值的变化规律。在现行教材中，周期性占有重要的地位。为了研究函数的周期性，本文分为两个部分，第一部分为周期函数概念的基本理论，第二部分为周期函数在中学中的应用。

【关键词】周期 最小正周期 周期函数

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）04－0045－01

要教好函数教学，首先教师自己要对函数教学知识有整体的认识和把握；其次要了解学生的认知结构；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。课堂教学是学生在校期间学习文化科学知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道。课堂教学不但要加强“双基”而且要提高智力；不但要发展学生的智力，而且要发展学生的创造力；不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是会自学；要提高学生的智力因素，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务。以下谈一谈笔者的一些看法。

一 定义法

利用定义求函数最小正周期是一种很重要的方法。

例1，求函数y＝sin（px＋α）的最小正周期，其中p＞0，α为实数。

解：设T是函数y的周期，那么sin［p（x＋T）＋α］＝

sin（px＋α），移项后，再和差化积，得到2sin •cos（px

＋ ＋α）。当sin ＝0它的最小正数解为T＝ ，上式

对于一切x都成立，所欲求最小正周期。

例2，设数列a1，a2，…，an，…，满足a1＝a2＝1，a3＝2，且对任何自然数n都有anan＋1an＋2≠1，又anan＋1an＋2an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，则a1＋a2＋…＋a100的值是 。（1998全国高中联赛）

解：由anan＋1an＋2•an＋3＝an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，得an＋1

an＋2an＋3an＋4＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4，两式相减得an＋1an＋2

an＋3（an－an＋4）＝an－an＋4，因此（an－an＋4）（an＋1an＋2an＋3－1）＝0。

anan＋1an＋2≠1，an＝an＋4。

{an}是以4为周期的周期数列，而a1＝a2＝1，a3＝2，a1a2a3a4＝a1＋a2＋a3＋a4，因此a4＝4，a1＋a2＋…＋a100＝25（a1＋a2＋a3＋a4）＝200。

二 公式法

设周期函数f（x）有最小正周期T，那么f（λx）（λ≠0）

有最小正周期 。这条性质的来源是高中数学中三角函数的

性质：对于函数y＝A sin（ωx＋φ），x∈R其周期为 ，由于

函数f（x）＝sin（x）的周期为T＝2π，所以可以猜想对于一般函数也具有这样的一般性。所以，在求函数最小正周期时，将所给的三角函数恒等变形，等价转化为上面的基本三角函数中的某一种，再套用公式，即可求解。

三 公倍数法

设F（x）＝A sinω1x＋B sinω2x x（其中A，B为非零常数，ω1，ω2＞０，ω1≠ω2），sinω1x的最小正周期为mπ，sinω2x的最小正周期为nπ。m、n皆为正整数，L＝［m，n］，则F（x）的最小正周期为Lπ。

四 对称性

例3，设函数f（x）在（－∞，+∞）上满足f（2－x）＝f（2＋x），f（7－x）＝f（7＋x），且在闭区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0。则：（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。（2005广东高考）

五 奇偶性

性质1：设函数y＝f（x）为奇函数，且关于x＝a对称，则y＝f（x）是T＝4a的周期函数。

性质2：设函数y＝f（x）为偶函数，且关于x＝a对称，则y＝f（x）是T＝2a的周期函数。

六 总结

众所周知，近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对忽视了基础知识、基本技能和基本方法的教学。教师在教学中过于粗疏或学生在学习中对基本知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。不少学生认为现在的试题量过大，他们往往无法完成全部试卷的解答，而解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低。可见，在切实重视基础知识的同时，也应重视基本技能和基本方法的培养。

作为函数的主要性质之一――函数的周期性，在中学中有着广泛的应用。对抽象函数的性质的理解与掌握，关键是弄清周期函数的概念和性质，而对函数周期性性质的理解可以借助于三角函数的周期性类比理解。但是要注意，若要将三角函数周期性中的结论移植到一般函数中，还要注意其局限性，所以为了更加透彻地探究函数的周期性，还有更远的路要走。