证券投资组合实证研究及绩效评价

摘 要：投资都是有风险的，高风险意味着高收益，怎样的一个投资组合才是最有效的？作为理性的投资者总希望风险小而收益大，或者是收益相同的情况下，风险最小。马可维兹1959年提出了关于投资组合选择的规范性模型：均值-方差模型，该模型主要是在一系列假设的基础上导出了最优化投资组合，随后人们提出了投资组合绩效评价的评价指标，包括夏普比率、特雷诺比率和詹森比率，以此来衡量投资活动的优劣。本文选取30只股票通过实证模拟研究，得出其中两个优化的投资组合，算出其VAR值，然后计算各自的绩效评价指标：Sharpe指数、Treynor指数和Jensen指数，然后进行比较研究。

关键词：投资组合;绩效评价;均值-方差模型;有效前沿理论

一、引言及文献综述

随着投资活动的增多，投资市场也在迅速发展，投资理论也在不断进步、不断完善。证券及其它风险投资需要解决两个核心问题：预期收益与风险，如何测定投资组合的风险与收益以及怎样平衡这两项指标进行资产分配是投资人需要解决的问题，绩效评价被认为是投资者的对自己投资项目是否盈利的一个判别标准。

Hicks（1953）提出了“分离定理”，认为投资风险可以分散，Williams（1938）提出了分散折价模型，他认为如果投资足够多的证券，就可以把风险消除。二十世纪五十年代马可维兹提出了关于投资组合选择的规范性的模型： MV（均值-方差）模型，该模型主要是在一系列假设的基础上导出了最优化投资组合，第一次从规范经济学的角度揭示了如何通过投资组合的有效前沿来选择最优的投资组合，缺点是统计工作量大，误差也大。在Markowitz的基础上，夏普（1964）等提出了CAPM模型，认为投资高风险的股票，才能得到更高的回报。上世纪九十年代，G30集团提出了度量市场风险的VaR模型，VaR模型提供了衡量市场风险和信用风险的大小的方法。投资组合理论的发展使人们认识到需要有一定方法来对自己投资的资产进行评估，现在世界上流行的投资组合绩效评价模型主要分为三个：特雷诺（Treynor）比率法、夏普（Sharpe）比率法和詹森（Jensen）比率法。这三个评价指标之间既有联系也有区别，国内学者也对投资组合理论及其绩效评价进行了一系列研究，靳云汇和刘霖（2001）利用多种方法检验了CAPM在中国股票市场上的适用性，检验了“均值-方差”的有效性。刘月珍（2002）利用检验法，邓婷（2005）运用短期收益自相关检验法、季度相对业绩比较法和双向表检验法对基金周净值增长率和季度净值增长率的持续性进行了检验。洪君（2004）运用运筹学的数据包络分析法对基金的绩效进行评价，该法是研究具有相同类型的多个部门或单位之间的相对有效性的十分有用的方法。胡倩（2004）提出了以中国转型经济为背景的基金绩效评价方法，以股票为媒介从全市场、全基金的角度考虑评价基金的绩效。沈维涛和黄兴孪（2001）、吴启芳和陈收（2003）对用单因素模型对我国基金绩效进行了实证分析，得出有些基金的绩效要优于基准组合的业绩，有些却不能。

综上，从国内外绩效评价文献的研究中我们可以发现：国外的绩效评价系统发展已经很完整，当然也存在着一些不完美的地方。而反观国内，关于绩效评价问题的研究和国外相比还存在较大的差距。重要的一方面是国内缺少对自身绩效评价问题的研究和创新。本文主要通过MV模型得出两个最优投资组合，从不同角度对绩效评价进行研究，画出有效前沿图，算出VaR值，并对各组投资组合的绩效进行评价，分别计算出各指标，然后进行比较研究。模型的建立利用matlab编程实现。

二、模型选择和数据来源

（一）模型介绍以及选取

1、MV模型。该模型把风险定义为期望收益率，投资者将一笔资金在一定时期进行投资，投资者要在期初尽可能多的投资组合中去选择一个最优的投资组合，投资者的目标是尽可能得到高的收益率，而风险越低越好，而最好的目标就是使收益率和风险这两个相互制约的目标达到最佳平衡。MV模型是严格建立在一系列假设条件之上，马柯维茨确立了有效边界理论以及风险和投资组合预期收益的计算方法，在这个模型中证券风险的评价指标主要是收益率均值和方差，一个投资组合的构成是由投资者同时买进或卖出收益和种类都不同的证券组成的，令Xi为证券投资的权数，如果一个投资组合是有n种证券组成的，则

X1+X2+X3…+Xn=1 （1）

每一个理性的投资者都是追求的在风险最小的情况下使收益达到最大，而如果风险达到最小，期望收益达到最大，此时具有这种性质的证券组合就是我们常所说的有效投资组合。MV模型描述如下：

允许卖空情况下：

目标函数：

min■■X■X■σ■

P=■X■■■

s.t.P=■X■■■■X■=1，i=1，...，N （2）

不允许卖空情况：

目标函数：

min■■X■X■σ■

P=■X■■■

s.t.P=■X■■■■X■=1，i=1，...，NX■≥0，i=1，...，N （3）

本文假设所有风险证券都不允许卖空，其中■■为证券i的平均收益率，N为投资的证券总数，σ■为证券i与证券j的协方差，p表示投资组合的收益，通过调节参数p就能够得到最优的投资组合，X1，X2.....，XN为各个证券的投资比例，即投资权重。在这里利用MATLAB的优化功能去求解，调用函数为quadprog。

2、VaR模型。VaR即风险价值，是指在正常的市场条件下，一项投资或投资组合在给定置信水平下和确定的持有期内的预期的最大损失，也就是说在给定的置信水平下，投资组合在未来特定的时间内可能遭受的最大损失，比如说一项投资在置信水平为95%的情况下的月风险价值为15万元，则它的意思就是说，在正常市场条件下，这项投资每月损失超过15万元的概率只有5%。而投资组合风险价值的一般计算公式为：

VaRX=W0Z1-ασX （4）

式中VaRX投资组合风险价值;W0为初始投资额;Z1-α为标准正态分布的抽样分位数;σX为投资组合的标准差。VaR模型通常有两个假设条件：（1）市场有效性假设;（2）市场波动是随机的，不存在自相关。在这里为了计算方便，我们假定投资组合的收益率服从正态分布，各风险资产的收益率也都服从正态分布。确定投资组合的VaR值，我们就要对持有期间的长度、置信度的大小、观察期间这三个参数有所了解。（1）持有期间。即确定计算在哪一段时间内的持有资产的最大损失值，持有期的选择可以根据持有资产的特点来定，可以是一天、一周或者一个月，流动性好的资产，应该选取较短的持有期，比如有些银行;与其相反，对于开放式基金，持有期可以取得相对较长。（2）置信水平。置信度在一定程度上反映了投资者对风险的不同偏好，置信水平越大，风险价值越大，即意味着投资者对风险厌恶程度越高，反之亦然。（3）观察期间。观察期间是对给定的持有期限的回报的波动性和关联性的整体时间长度，是整个数据选取的时间范围，比如选择对某个投资组合在未来几个月或者是未来几年的观察期间内，考察每周回报率的波动性。

计算VaR值的方法主要有三种：方差-协方差法，历史模拟法，Monte Carlo模拟法。方差-协方差方法是计算VaR中最为常用的方法，本文将采用此方法进行计算。利用资产收益的历史数据，计算出资产的标准差和相关系数，在一定的分布假定之下，以这些方差和协方差为基础，计算得到组合的标准差，确定相应的VaR值，具体步骤：首先，利用历史数据计算资产组合的收益的方差、标准差、协方差;其次，假定资产组合收益是正态分布，可求出在一定置信水平下，反映分布偏离均值程度的临界值;第三，建立与风险损失的联系，推导VaR值。这里笔者利用matlab中的有关程序计算投资组合的VaR值，MATLAB 中的风险价值计算使用portvrisk函数。

（3）Treynor比率评价模型。它是世界上第一个考虑风险因素的投资组合绩效评价模型，它以资本市场线作为基准，以Treynor指数来衡量投资组合系统风险溢价的大小，其公式为：

Tp=[E（rp）-rf]/βp （5）

其中E（rp）表示投资组合的期望收益率，rf是无风险收益率，其中βp表示投资组合p的系统风险，用标准差表示。Treynor指数反应的是每单位系统风险所带来的风险收益，不包括非系统风险。

（4）Sharpe比率评价模型。Sharpe在资本市场线的基础上提出了夏普比率法，夏普指数就是用基金投资的风险溢价除以投资组合的总风险，即投资组合的标准差，其公式为：

Sp=[E（rp）-rf]/σp （6）

它表示每单位风险所带来的收益，其中σp表示投资组合期望收益率的标准差，即指该投资组合的总风险。

（5）Jensen比率评价模型。Jensen在CAPM和CML的基础上提出了Jensen指数，是应用最广泛的经典绩效评价指标，该指数是在假设非系统风险已经被完全分散掉了的基础上比较相同系统风险水平下基金投资组合和市场的差值，其表达式为：

Jp=E（rp）-[rr+βp（E（rm）-rr）] （7）

其中E（rm）表示市场基准组合的收益率，E（rm）-rr表示市场基准组合的超额收益率，Jensen指数也隐含一个假设：基金的非系统风险已通过投资组合彻底地分散掉。因此，该模型只反映了收益率和系统风险之间的关系。

（二）各参数计算方法

1、收益率。本文计算的是对数收益率，股票在样本时限内各对数收益率为：

R■=1n■ （8）

其中：R■为第i种股票在第t日的收益率;P■为第i种股票在第i日的收盘价;P■为第i种股票在（t-1）日的收盘价。

2、风险。一个投资者进行投资的目的是获得回报，但是有许多不确定的因素影响着股票的收益，在每个投资者心中都有一个预期的理论上的回报，那些不确定的因素使投资者实际获得的收益会偏离预期收益，单个股票的风险可以用标准差来衡量，用σ■表示第i种股票的风险，则

σ■=■ （9）

其中μ■表示单个股票的预期收益率，计算公式如下所示：

μ■=■■R■ （10）

3、协方差。所谓协方差就是用来测量一种股票相对于其他股票的风险的统计量，在这里我们用σ■表示股票i和股票j之间的协方差，公式为：

σ■=■■（R■-μ■）（R■-μ■） （11）

4、系统风险。通常用β表示系统风险，系统风险是不能通过多样化来消除的，单个股票i的系统风险β■计算公式为：

β■=■ （12）

投资组合的风险为：

β■=X■β■ （13）

（5）相关系数。记相关系数为p■，其计算公式为：

p■=■ （14）

利用相关系数，调用MATLAB中把相关系数矩阵转换为协方差矩阵的函数corr2cov，可以计算出所需的协方差矩阵，组合资产收益率、组合资产风险（标准差）可以通过函数portstats计算出。

（三）数据选取

因为股票价格受多种经济因素影响，并且还会受到战争、政治形势、自然灾害等非经济因素的影响，所以本文选取180R成长股中的30只股票，采用日数据和对数收益率，数据为2012年四月到五月份各支股票31天的收盘价，算出每只股票每天的对数收益率，其中每年中的节假日没有数据。各股票如表1所示：

三、实证研究结果及分析

首先本文采取日数据，其数据来自于大智慧软件，根据每天的收盘价，计算出30只股票的对数收益率，并根据上一部分所介绍的公式（8）-（14）计算出各股票的预期收益率、方差、标准差、相关系数以及协方差，结果如表2和表3所示：

现在我们调用matlab中的quadprog函数，来解MV模型，即方程（10），选择不同的参数p（投资组合收益），就可以得到最优投资组合。假设投资组合的收益p=0.00005，则最优投资组合为：特变电工、山东黄金、航天电子、招商银行、铁龙物流、洪都航空、张江高科，他们的权重分别为：10.03%、13.21%、6.92%、59.4%、0.16%、4.8%、5.48%，股票数量为7只。

如果投资组合收益p=0.0005，通过MATLAB计算得出最优投资组合为：浦发银行、特变电工、山东黄金、华北制药、航天电子、招商银行、铁龙物流、洪都航空、安信信托、张江高科，其权重分别为：3.14%、7.20%、11.12%、1.85%、7.44%、50.19%、7.44%、5.17%、0.44%、5.99%。

比较两组数据，我们可以发现当组合期望收益增加的时候，最优投资组合的股票数量也是不断增加的，当p=0.00005时，股票数量为7只，当p=0.0005时，股票数则变为10只。这是因为投资组合具有多样性，股票数量多，这就印证了Williams（1938）提出的分散折价模型，他认为如果投资足够多的证券，就可以有效的分散风险、降低风险，是收益达到比较理想的效果。并且从各股票权重可以看出，两组数据中招商银行的权重比较大，说明投资该只股票的风险较小，比起其他股票更值得投资。进一步分析，我们为了得到风险和收益之间的曲线关系，在这里介绍一个概念：有效前沿。所谓有效前沿就是收益相同风险最小或风险相同收益最大的组合，风险相同收益最大，指在给定的方差下，寻找最大期望收益的资产组合，收益相同风险最小，指的是给定期望收益下，寻找最小方差的投资组合，而有效前沿就是有上述两种组合中的所有有效组合组成的。本文中我们选取p=0.00005的那组最优投资组合，调用MATLAB中的函数frontcon，得出有效前沿上的十个点，以及每只股票的权重，其结果如表4所示：

接下来通过上述数据在MATLAB中直接运行如下程序：frontcon（ExpReturn， ExpCovariance， NumPorts），画出有效前沿图，结果如图1所示。

图中横轴为标准差即风险，纵轴为收益，从图中我们可以看出高风险意味着高收益，随着横轴标准差即风险的不断增加，收益也随之越来越大，但是当风险达到一定程度的时候，收益增加的速度放缓了，说明当风险太大时，理性的投资人应该慎重投资。对于上述7只股票的投资组合，我们来计算其VaR值及风险价值，首先算出它的投资组合的标准差以及收益率，然后假设总资产价值为1亿，来计算1%水平下资产组合未来一年内的风险价值，可以得出VaR =0.0183，说明该投资组合未来一年内损失0.0183亿的可能性为1%。这个可以对投资者投资前对自己所投资股票的风险价值有一定的了解，对未来损失有一个评估。对于p=0.00005和p=0.0005这两组投资组合，它们哪一个更值得投资？哪一个的绩效更好呢？为了评估这两组投资组合，我们计算分别计算出它们各自的特雷诺指数、夏普比指数、詹森指数，在计算之前先要确定无风险利率，取五年期的国债利率为无风险利率，2012年3月10号发行的五年期国债利率为6.15%，转换为日利率为1.6849e-004，计算结果如下：

当p=0.00005时，三种绩效指标结果为：

Tp1=-0.0086 Sp1=-0.0155 Jp1=-0.00013392

而当p=0.0005时，各指标结果如下所：

Tp2=0.0230 Sp2=0.0289 Jp2=0.00030416

因为特雷诺比率评价法有一个假设：非系统风险已经被完全消除，而夏普比率评价法考虑了系统风险和非系统风险，所以它的评价结果相对还是可以接受的，但是缺点是没有具体分析非系统风险和系统风险对投资组合绩效的评价有多大的影响，而詹森比率评价法评价结果应该是相对比较不好的，因为它只反映了系统风险和收益率之间的关系，并且它也假设非系统风险已经被分散，如果投资组合的非系统风险不能被完全分散，则夏普比率评价法优于特雷诺比率评价法和詹森比率评价法，如果投资组合非系统风险完全被分散化，那么二者评价的排序结果是一致的。特雷诺比率与詹森比率相互之间有近似的线性关系，因此，对投资组合绩效评价的排序结果大体上是相同的。比较两组数据，很显然当p=0.00005时的三种指标都大于p=0.0005时的指标，说明第二组的绩效好于第一组的绩效，因为牵扯到投资组合多样性问题，第二组股票数量多，有10只，而第二组只有7只，股票数量多可以分散风险，得到更优的投资组合。还可以发现，当组合期望收益增加的时候，最优投资组合的股票数量也是不断增加的;投资组合的三个绩效评价指标也是不断增加的，表现出了更好的绩效。

四、结论及建议

对于投资组合，我们可以利用优化函数得出最优的资产组合，并由此从30只股票中选择出最优资产组合以及它们的权重，但是由于方差并不能全面来权衡投资组合期望收益率与风险之间的关系，因此均值-方差模型的风险最小化的同时，资产组合收益率也是相对较小的，虽然马柯维茨模型所用的方法理论上比较完善，但是实践中却有很大的局限性，这是因为它的计算量比较大。除此之外，选取不同的组合收益率必然会有不同的投资组合决策，带来的风险也不同，除了马柯维茨模型外，还有其他一些理论来分析股票的投资组合行为，比如资本资产定价模型等，但是它们都是以马柯维茨模型为基础的，所以在这方面的研究要走的路还很多，而对于VaR模型，我们只计算了它的风险价值，得到了资产组合在一定水平下未来一定时间内的最大损失。从最后的三个绩效评价指标的计算结果可以看出，各绩效评价既有优点也存在缺点，但是不管哪种指标，其越大则说明绩效越好，该投资也越值得投资。

然而本文研究还存在许多缺陷和不足，在投资组合绩效评价方面也不是很完善，随着中国基金绩效评价的发展及数据库的日益完备，我们国家在这方面的研究将会不断发展。要做好投资，我们的投资工具应该要多元化，并且要不断提高人才素质，尤其是专业化的人才，因为高素质人才是进行合理投资组合的一个关键点。除这些外，我们更要规范证券市场，不断完善法律法规和监管水平，使我国的证券市场有一个良好的发展，使人们都能够理性去投资，避免自己财产的损失，本文所提到的一些模型只是投资组合理论发展过程中的一小部分，在后续的发展中，很多人也对一些模型进行了改进，使它优点更加明显。经济不断发展，投资活动也越来越频繁的今天，对于理性的投资者来说掌握一定的投资组合知识将有助于减少风险。

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The Empirical Research and Performance Evaluation on Portfolio

MA Zilong

（International Business School of Shaanxi Normal University， Xi’an 710119）

Abstract：Investment is risky， and high risk means high income. What kind of the portfolio is the most effective？ The rational investors always hope that the risk is low and the gain is large. Or， under the situation that the gain is equal， the risk is minimal. Markowitz put forward standardized model about the portfolio selection in 1959： mean - variance model. The model educes the optimal portfolio on the basis of a series of hypotheses. Then the evaluation indexes of the performance evaluation of the portfolio were proposed， including the Sharpe ratio， Treynor ratio and Jensen ratio， in order to measure the pros and cons of the investment activities. The paper selects 30 stocks， makes the empirical simulation research， gets two optimized portfolio， calculates their VAR value and their respective performance evaluation indexes：Sharpe index， Treynor index and Jensen index， and then makes a comparative study.

Keywords： portfolio; performance evaluation; Mean - Variance model; effective frontier theory