实施数学探究教学的有效途径

摘要：数学探究教学是高中数学新课程中倡导的一种教学方法. 探究课题和方法的选择是完成探究教学的关键，合适地选择探究教学的课题和方法有助于学生了解数学概念及结论的产生过程，能培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，提高学生发现、提出、解决问题的能力，从而培养学生的创新意识和实践能力.

关键词：数学教学；探究方法；培养能力

数学探究教学是指教师在课堂上让学生通过各种探究活动，如观察、实验、猜想、论证与讨论等，得出数学结论. 在此过程中，学生主动参与教学，体验获得数学知识的过程，并逐步掌握研究数学的基本方法，提高数学的解题能力，促进学生全面发展. 那么，怎样开展数学探究教学才是培养学生探究能力和发展学生思维能力的一条行之有效的途径呢？

创设探究问题情景，激发学生探索欲望

1. 从数学概念、知识、方法的形成过程中创设情景

在学习等差数列、等比数列之后可以提出下面的问题供学生探究：

例1你是否可以类比等差数列和等比数列的定义，然后定义一些新的数列呢？

这时学生可能就会提出等和数列、等积数列等，教师应该充分肯定学生的回答并鼓励学生去探求它们的结构特点和性质.

关于等和数列的探究如下.

定义：若数列｛ａｎ｝满足an+1+an=d（d为常数），则称数列｛ａｎ｝为等和数列.

由an+1+an=d得an+1=-an+d，即an+1-=-an-. 所以数列an-是以a1-为首项（首项不为0），以-1为公比的等比数列. 从而容易求得an=a1-•（-1）n-1+=a1（n为奇数），d-a1（n为偶数），即是形如a，b，a，b，…的数列（首项为0时也满足）. 类似地，可以探求满足an+1•an=q（q≠0）的等积数列｛ａｎ｝的有关结构和性质.

2. 从现实生活中提炼问题，创设探究情景

例2在蔗糖溶液中加入适量的蔗糖后，溶液就变得更甜了，为什么？

通过对问题的探究可建立一个数学模型：

通过此题的探究，使学生明白数学和自己的生活息息相关，更加激起他们学习数学的兴趣.

对解题过程进行反思质疑，激发学生探究的热情

1. 对解题策略进行反思质疑

例3设a>0，b>0，解关于x的不等式ax-2>bx.

常规思路是：（1）讨论ax-2的正负，根据绝对值的定义去掉不等式中的绝对值符号，从而求解. （2）讨论bx的正负，根据基本绝对值求解.

由于此题有三个未知量，无论选择哪一条途径，解题过程都是比较烦琐的. 为了优化解题策略，可引导学生对书本上的重要结论提出反思和质疑：能否优化两个基本不等式x>a（a>0）?圳x>a或x

沿着这一思路，试着将一些a的特殊值代入式中反复试验，结果发现一个预想不到的结论：无论a取何值都有x>a?圳x>a或x

解析ax-2>bx?圳ax-2bx?圳（a+b）x2. 因为a>0，b>0，所以（a+b）x

①当a>b>0时，由（a-b）x>2得x>. 从而原不等式的解集为-∞，∪，+∞.

②当a=b>0时，由（a-b）x>2得x∈ . 从而原不等式的解集为-∞，.

③当b>a>0时，由（a-b）x>2得x

2. 对问题差异性进行反思质疑

例4函数y=logsin30°（-x2+logax）的定义域为0，，试求实数a的取值范围.

有些资料上的参考答案是：由-x2+logax>0知x2

图1

如果不善于思考，轻信答案，就不会提出下面的质疑与反思：“函数y=logsin30°（-x2+logax）的定义域为0，”与“函数y=logsin30°（-x2+logax）在区间0，上有意义”有什么区别？进一步研究发现：两者差异是非常大的. “函数y=logsin30°（-x2+logax）的定义域为0，”表示自变量x能在0，内取值. 而“函数y=logsin30°（-x2+logax）在区间0，上有意义”却表示自变量x不一定只在0，这个范围内取值，由此说明参考答案是错误的，它是后一个问题的解答，前一个问题的解答应为：loga=2?圯a=.

反思与质疑是一种批判性思维，也可以认为是一种求异性思维. “学贵有疑”，许多重要问题的发现和提出都与质疑密切相关. 质疑可以让大家认识到自己在认识、解决问题中的所作所为是否合理、是否优越. 通过反思质疑将产生高一层次的思维成果.

对数学特例进行推广、归纳，培养学生探究的主动性

例5设p>0，q>0，且p3+q3=2，求证：p+q≤2.

学生最容易想到的方法是比较法和综合法、反证法. 教师可以向学生提问：还有其他的方法证明这个不等式吗？引导学生去探究.

下面选择两种方法加以证明.

1. 换元法（均值换元）

设p3=1+t，q3=1-t，则-1

所以（p+q）3=p3+q3+3pq（p+q）≤2+3（p+q）.

移项、因式分解得（p+q+1）2（p+q-2）≤0. 所以p+q≤2.

2. 构造法（构造方程）

设p，q是方程x2-mx+n=0的两根，则p+q=m，pq=n.

由p3+q3=（p+q）［（p+q）2-3pq］得m（m2-3n）=2，所以n=.

由Δ=m2-4n=m2-≥0，

解得m≤2即p+q≤2.

其实，关于此题曾有人探究过，竟有15种证法之多.

在探索解法过程中，你有哪些启示？你还能变换条件或结论得出其他问题吗？你能类比或联想到一些不等式吗？你能证明或否定它们吗？把你的所思所想记录下来，让我们共同分享吧！下面是关于此题的一些变式题.

变式1（改变结论）若a，b∈R+，a3+b3=2，则ab≤1.

变式2（改变条件）若a>0，b>0，a2+b2=2，则a+b≤2.

变式3（弱化条件）若p，q∈R且p3+q3=2，则p+q≤2.

变式4（条件、结论互换）若a，b∈R+，a+b=2，则a3+b3≥2.

波利亚说：“好问题同某种蘑菇有类似的结论，大都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有几个．” 本案例通过一题多解，一题多变的探究，既复习了不等式的证明方法，又加强了不同章节知识间的联系，优化了学生的数学思维结构，并让他们享受到了成功的快乐．

让每一个学生获得探究的喜悦，养成遇事想探究的习惯

例6设tanα，tanβ是关于x的方程mx2+2x+2m=0的两个实根，求μ=tan（α+β）的最大值.

问题给出后，一般学生都能根据韦达定理建立目标函数μ=. 然而，如何使不同层次的学生共同求得发展呢？笔者采用如下方法：

1. 低起点，导其成功

方法1因为μ=，所以μ2=，即μ2m2-28m+12=0.

所以Δ=282-4×12μ2≥0.

所以≤μ≤.

所以μmax=.

上述解法是否正确呢？在教师的启发下，引导学生考虑m的取值范围，以及取得最大值时m对应的值是否符合条件，从而使每一个学生认识到，由方程有实根可得：m∈，3，又当μ=时，m=∈，3，所以最大值能够取到.

2. 多交流，相互补益

上述问题有没有其他解法呢？学生各抒己见.

方法2设t=，由题设方程有两个实根，得m∈，3. 于是t∈，3. 从而μ==. 再利用判别式法求解.

方法3由μ=得μ=. 再利用基本不等式求解.

方法4因为μ2=，

所以μ2=-122+28，令=x，x∈，2，注意到μ>0，化归为二次函数求解.

这样，在积极的交流和相互的启发中，优生获得了反思的时间，基础差的学生赢得了思考的时间，大多数学生都能发现问题的新解法，能体会到学习成功的喜悦感，逐步形成遇事多探究的习惯.

总之，引导学生探究问题的途径是多样化的，但归根结底目的是一样的，让学生轻松地接受知识和运用知识. 这里需要强调的是，为了取得好的学习效果，教师还要特别注意与学生形成平等、和谐、新型的师生关系，创设平等、民主的课堂氛围.

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